Многоугольник.

Многоугольник.

Ломаная линия называется простой, если у нее нет самопересечений (рисунок 1а). Ломаная, имеющая хотя бы одно самопересечение, называется сложной (рисунок 1б).

Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная простой замкнутой ломаной линией (рисунок 2а). При этом звенья ломаной служат сторонами многоугольника, а вершины ломаной – вершинами многоугольника. Ясно, что число вершин (и сторон) многоугольника может быть равно любому натуральному числу, не меньшему трех. Многоугольник с n вершинами принято называть n -угольником (при n =3 имеем треугольник, при n =4 – четырехугольник, при n =5 – пятиугольник, …, при n =50 –пятидесятиугольник, и т.д.).

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. В противном случае многоугольник называется невыпуклым или вогнутым. К примеру, многоугольник, изображенный на рисунке 2б, является вогнутым, поскольку прямая, содержащая его сторону A ₃ A ₄, разбивает многоугольник на части. Многоугольник, изображенный на рисунке 2а, является выпуклым, поскольку при проведении прямой через любую его сторону многоугольник оказывается лежащим по одну сторону от этой прямой (на рисунке 2а изображены лишь некоторые из таких прямых – A ₄ A ₅, A_{n -2} A_{n -1} и A ₁ A_n).

Две стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называются смежными (например, стороны A ₂ A ₃ и A ₃ A ₄). Две вершины многоугольника, принадлежащие одной его стороне, называются соседними (например, A ₃ и A ₄). Отрезок, соединяющие любые две несоседние вершины многоугольника, называется диагональю многоугольника. На рисунках 2а и 2б пунктиром выделены некоторые диагонали многоугольников. Обратите внимание на то, что в невыпуклом многоугольнике некоторые диагонали могут лежать за его пределами (как, например, диагональ A ₃ A ₅ на рисунке 2б).

Найдем число диагоналей n -угольника:

1. Из каждой вершины n -угольника можно провести n -3 диагонали: нельзя провести диагональ из вершины в ту же вершину и в две соседние.

2. Поскольку число вершин n -угольника равно n, а из каждой вершины можно провести n -3 диагонали, получается, что общее количество диагоналей многоугольника равно n ×(n -3). Но при таком подходе каждая диагональ была учтена дважды: к примеру, диагональ A ₂ A ₄ была учтена и как диагональ, проведенная из вершины A ₂, и как диагональ, проведенная из вершины A ₄. Таким образом, общее число диагоналей n-угольника равно .