Краткие теоретические сведения и примеры решения задач

 

В результате нагружения деформируемого твердого тела изменяется взаимное расположение его элементарных частиц, что приводит к изменению сил взаимодействия между ними, то есть к появлению дополнительных внутренних сил.

В сопротивлении материалов изучаются именно эти дополнительные внутренние силы.

Таким образом, под внутренними силами в сопротивлении материалов понимают силы взаимодействия между отдельными частями элемента конструкции, обусловленные действием внешних сил.

При возрастании внешних сил внутренние силы растут до определенного предела, после достижения которого наступает разрушение. Предельные значения внутренних сил зависят от физико-меха-нических свойств материала тела.

Для оценки прочности элемента конструкции необходимо определять интенсивность внутренних сил по заданным внешним силам.

Задача эта статически неопределима. Первым шагом в ее решении является применение метода сечений, который позволяет выявить внутренние силы путем мысленного рассечения тела на две части (рис. 1.2, а).

Внутренние силы являются силами взаимодействия между частицами тела, расположенными по разные стороны от мысленно проведенного сечения. Поскольку все тело в целом находится в равновесии, то и каждая его отсеченная часть находится в равновесии под действием внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения и распределенных по сечению сил, действующих со стороны отброшенной части, которые для рассматриваемой части становятся внешними силами (рис. 1.2, б).

Закон распределения этих сил по сечению заранее неизвестен. Для его нахождения недостаточно уравнений равновесия статики, составляемых для одной из отсеченных частей. Необходимы дополнительные условия, позволяющие совместно с условиями равновесия найти искомый закон распределения внутренних сил по сечению.

Эти дополнительные условия являются условиями неразрывности деформаций, которые означают, что деформированные поверхности смежных сечений, принадлежащих левой и правой частям тела и примыкающих к мысленно проведенному сечению, совпадают во всех точках. В сопротивлении материалов условия неразрывности деформаций получают с помощью гипотезы плоских сечений.

Однако из уравнений равновесия статики, составленных для одной из отсеченных частей тела, можно найти равнодействующие распределенных по сечению сил. Эти силы, как известно из курса статики, приводятся к одной силе R (главному вектору) и к одной паре M (главному моменту) (рис. 1.2, в).

Определение внутренних сил бруса обычно производится для поперечных сечений, то есть сечений, перпендикулярных к его оси, а за центр приведения внутренних сил принимается центр тяжести этого сечения.

Свяжем с центром тяжести сечения систему осей координат Cxуz. Ось z направим по нормали к сечению, а оси х, у расположим в плоскости сечения. Разложим главный вектор R и главный момент M на их составляющие по координатным осям: N, Q_x, Q_y и M_x, M_y, M_z. Эти составляющие (рис. 1.3) называются внутренними силовыми факторами в поперечном сечении бруса.

 

а б

 

в

 

Рисунок 1.2 – Иллюстрации к методу сечений

 

 

Каждый из них имеет свое название: N – нормальная (продольная) сила; Q_x, Q_y – поперечные силы; M_z º M_к – крутящий момент;
M_x, M_y – изгибающие моменты.

 

 

Рисунок 1.3 – Внутренние силовые факторы

в поперечном сечении бруса

 

В каждое из уравнений равновесия статики, которые могут быть составлены для любой из отсеченных частей:

S X = 0, S Y = 0, S Z = 0, S М_х = 0, S М_у = 0, S М_z = 0,

входит только один неизвестный внутренний силовой фактор.

Следовательно, каждый из них легко выражается через внешние силы, приложенные по одну сторону от мысленно проведенного сечения.

Зависимости внутренних силовых факторов в сечении от внешних сил, действующих на отсеченную часть, являющиеся следствиями уравнений равновесия статики, получили название аналитических выражений. С их помощью строят графики, показывающие законы изменения внутренних силовых факторов вдоль оси бруса и называемые эпюрами.