Регулярные фракталы

Регулярные фракталы

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название " регулярные фракталы ".

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим несложную задачу. Требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 2.5.). Алгоритм преобразования следующий:

1. отрезок единичной длины (рис. 11а) делится на 3 части, средняя часть отрезка отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3 (рис. 2.5.б);

2. каждый прямой отрезок полученной ломаной преобразуется согласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию, показанную на рис. 2.5.в;

3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления (рис. 2.5.д). Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим линию, называемую кривой Кох. Поскольку на каждом шаге мы разбивали каждый отрезок на три части, точнее она называется триадной кривой Кох. Ведь каждый отрезок можно разбивать и на большее количество частей.

На первом шаге алгоритма длина отрезка а составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L = 4*1/3 = 4/3 = 1,33 (2.2)

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка а =1/9, длина кривой

L = 16*1/9 = 16/9 = 1,777 (2.3)

На третьем шаге алгоритма а =1/27

L = 64*1/27 = 64/27 = 2,370370 (2.4)

и т.д. Можно заметить, что с увеличением n длина элементарного отрезка а ® 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3) n (2.5)

a = (1/3) n (2.6)

где n = 1,2,3. Выражая n из (2.6), получаем: n = (1/ln3)*ln(1/ a). Подставляя n в (2.5), получим

L = exp(n *ln(4/3))=exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/ a) (2.7)

Обозначив D = ln4/ln3, получаем

L = a *(1/ a) D -1 (2.8)

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии "кривая Кох". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского (рис. 2.6.).

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность кривой Кох D =ln4/ln3» 1,263 больше топологической размерности. Таким образом кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.

Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (рис. 2.6.). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2.