Уравнение прямой в пространстве

Под прямой в пространстве мы будем понимать общую часть двух пересекающихся плоскостей. Следовательно, общим уравнением прямой в пространстве является система уравнений (14)

Система уравнений вида (15) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. Система (15) является уравнением прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Пусть заданы 2 точки: и . Уравнение прямой запишется в виде (15 ^/).

Система уравнений вида (16) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Система (16) эквивалентна каноническому уравнению прямой в пространстве.

Пусть уравнение прямой задано в виде (14). Как записать его в более удобном каноническом виде? Для этого надо найти частное решение (14) – точку и, самое главное, - вектор , параллельный искомой прямой. В системе (14) две плоскости и имеют соответственно нормали (перпендикулярные им вектора) , . Так как каждая прямая плоскости перпендикулярна нормали к плоскости, то общая прямая этих двух плоскостей перпендикулярна и вектору и вектору . Следовательно, в качестве вектора можно взять вектор . Рассмотрим пример решения такой задачи.

Пример 1. Напишите уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Заметим, что точка принадлежит каждой из плоскостей и, следовательно, лежит на искомой прямой. Для нахождения направляющего вектора этой прямой найдем векторное произведение векторов и , т. е. раскроем определитель . В итоге векторное произведение равно вектору и каноническое уравнение прямой можно записать в виде .