Системы векторов

 

Для характеристики взаимного расположения векторов в пространстве вводится понятие линейной зависимости между векторами.

Вектор называется линейной комбинациейвекторов системы , если существуют такие числа , что

. (2.1)

Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В этом случае говорят, что вектор линейно выражается через систему векторов или вектор разложен по векторам системы . Введением понятия линейной комбинации мы объединили понятия сложения векторов и умножения вектора на число.

 

Определение 2.1. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что

. (2.2)

Определение 2.2. Если равенство (2.2) возможно лишь в случае, когда , то система называется линейно независимой.

 

Рассмотрим ряд теорем, которые примем без доказательства.

Теорема 2.1. Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 2.2. Если и - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде

. (2.3)

Теорема 2.3. Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 2.4. Если векторы , и некомпланарны, то любой вектор можно единственным образом разложить по ним, т.е.

. (2.4)

Теорема 2.5. Всякие четыре вектора трехмерного пространства линейно зависимы.

 

Назовем векторы ,

,

,

…………………..

единичными векторами n -мерного пространства.

Отметим, что система единичных векторов n -мерного пространства линейно независима.

Теорема 2.6. Любой вектор n -мерного пространства является линейной комбинацией единичных векторов этого пространства, т.е.

.

Таким образом, всякий вектор n -мерного пространства равен сумме произведений его координат на соответствующие единичные векторы.

 

Пример 2.1. Выяснить, будет ли данная система векторов линейно зависимой или независимой

.

Решение. Составим их линейную комбинацию:

или

.

Такое векторное уравнение эквивалентно следующей системе уравнений:

.

Найдем ранг системы. Составляем матрицу системы и приводим к ступенчатому виду:

~ ~ .

Так как , то система имеет бесчисленное множество решений, среди которых есть ненулевой. Значит, система векторов линейно зависима.

Например, частным решением является: . Значит, , т.е указанная система векторов линейно зависима.

,