Прогнозирование на основе методов прогнозной экстраполяции

 

Сущность методов прогнозной экстраполяции состоит в анализе изменений объектов исследования во времени и распространение выявленных закономерностей на будущее.

Термин «экстраполяция» имеет несколько толкований. В широком смысле слова экстраполяция – это метод научного исследования, заключающийся в распространении выводов, полученных из наблюдения над одной частью явления, на другую его часть. В узком смысле слова экстраполяция – это нахождение по ряду данных функции других её значений, находящихся вне этого ряда. Экстраполяция заключается в изучении сложившихся в прошлом и настоящем устойчивых тенденций экономического развития и перенесении их на будущее.

В прогнозировании экстраполяция (экстраполирование) применяется при изучении временных рядов и представляет собой нахождение значений функции за пределами области её определения с использованием информации о поведении данной функции в некоторых точках, принадлежащих области её определения.

Временной ряд представляет собой совокупность последовательных измерений показателя (объём валовой продукции, объём валовых инвестиций, численность занятых в экономике и др.) произведённых через одинаковые интервалы времени. Анализ временных рядов позволяет решать следующие задачи:

исследовать структуру временного ряда, включающую, как правило, тренд – закономерные изменения среднего уровня, а также случайные периодические колебания;

исследовать причинно-следственные взаимосвязи между процессами, проявляющиеся в виде корреляционных связей между временными рядами;

построить математическую модель процесса, представленного временным рядом;

преобразовать временной ряд средствами сглаживания и фильтрации.

Анализ тренда предназначен для исследования изменений среднего значения временного ряда с построением математической модели тренда и с прогнозированием на этой основе будущих значений ряда. Анализ тренда выполняется на основе методов прогнозной экстраполяции, регрессионных моделей и производственных функций. Далее мы подробно рассмотрим каждый из этих методов.

В практической работе временные ряды прогнозируемых показателей приближают следующими элементарными функциями:

У=а₀+а₁Х (уравнение прямой линии);

У=а₀+а₁Х+ а₂Х² (парабола второго порядка);

У=а₀+а₁Х+а₂Х²+а₃Х³ (парабола третьего порядка);

У=а₀+а₁lnX (логарифмическая);

У=а₀Х^а1 (степенная);

У=а₀+а₁^х (показательная).

Различают перспективную и ретроспективную экстраполяцию. Перспективная экстраполяция предполагает продолжение уровней ряда динамики на будущее на основе выявленной закономерности изменения уровней в изучаемом отрезке времени. Ретроспективная экстраполяция характеризуется продолжением уровней ряда динамики в прошлое.

Понятием, противоположным экстраполяции, является интерполяция, интерполирование, которое предусматривает нахождение промежуточных значений функции в области её определения.

При экстраполяции предполагается:

· текущий период изменения показателей может быть охарактеризован траекторией – трендом;

· основные условия, определяющие технико-экономические показатели в текущем периоде, не претерпят существенных изменений в будущем, т.е. в будущем они будут изменяться по тем же законам, что и в прошлом, и настоящем;

· отклонения фактических значений показателей от линии тренда носят случайный характер и распределяются по нормальному закону.

Прогнозирование социальных процессов методами прогнозной экстраполяции с использованием EXCEL возможно осуществлять следующими методами: методом скользящей средней и методом экспоненциального сглаживания.

Метод скользящей средней применяется в том случае, когда ряды динамики характеризуются резкими колебаниями показателей по годам. Такие ряды, как правило, имеют слабую связь со временем и не обнаруживают чёткой тенденции изменения. Наиболее распространённым и простым путём выявления тенденции развития является сглаживание или выравнивание динамического ряда.

Суть различных приёмов, с помощью которых осуществляется сглаживание или выравнивание, сводится к замене фактических уровней динамического ряда расчётными, имеющими меньшую колеблемость, чем исходные данные.

Один из наиболее простых приёмов сглаживания заключается в расчёте скользящих средних, их применение позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить имеющуюся тенденцию в развитии.

Метод скользящих средних позволяет отвлечься от случайных колебаний временного ряда, что достигается путём замены значений внутри выбранного интервала средней арифметической величиной. Интервал, величина которого остаётся постоянной, постепенно сдвигается на одно наблюдение. Величина интервала скольжения Р может принимать любое значение от минимального (Р=2) до максимального (Р=N-1, где N – длина рассматриваемого временного ряда). Сглаженный ряд короче первоначального на Р-1 наблюдение.

При использовании метода скользящих средних, прежде всего, определяют величину интервала скольжения, обеспечивающую взаимное погашение случайных отклонений во временном ряду. Если наблюдается определённая цикличность изменения показателей, интервал скольжения должен быть равен продолжительности цикла. При отсутствии цикличности в изменении показателей рекомендуется производить многовариантный расчёт при изменяющемся параметре сглаживания. Лучший вариант Р определяется на основании последующей оценки выровненных рядов (по коэффициентам, темпам роста и т.д.). Найденный таким образом параметр скольжения затем используется для прогнозирования социально-экономических процессов.

Для любого интервала скользящая средняя исчисляется по формуле

Y_k = ,

где X_k-i – реальное значение показателя в момент времени t_k-i;

Р – интервал скольжения;

Y_k –значение скользящей средней для момента времени t_k.

Пример: Имеется временной ряд показателя численности безработных в муниципальном образовании за 7 лет (таблица 5.1). Используя метод скользящей средней, сделать прогноз численности безработных в муниципальном образовании на последующий 8-й год:

Таблица 5.1 – Динамика численности безработных в муниципальном образовании, чел.

	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год	6 год	7 год
Численность безработных, чел.

Источник: Данные условные

 

Рассмотрим решение задачи средствами Excel.

1. Заносим статистические данные на лист Excel.

2. В меню СЕРВИС выберите команду АНАЛИЗ ДАННЫХ.

 

Если раздел АНАЛИЗ ДАННЫХ отсутствует, то его необходимо установить. Для установки раздела АНАЛИЗ ДАННЫХ в пакете Excel необходимо выполнить следующее:

А) в меню СЕРВИС выберите команду НАДСТРОЙКИ;

Б) в появившемся списке установите флажок ПАКЕТ АНАЛИЗА.

3. В открывшемся диалоговом окне АНАЛИЗ ДАННЫХ выберите инструмент СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ Þ ОК.

 

3. В диалоговом окне СКОЛЬЗЯЩЕЕ СРЕДНЕЕ необходимо определить следующие параметры:

· В поле Входной интервал укажем диапазон с исходными данными (В3:В9).

· Укажем Интервал скольжения равный 3 (минимальное значение равно 2).

· Установим курсор в поле Выходной интервал, мышкой укажем любую ячейку, например С14.

· Установим флажок на команде вывод графика.

· После того как все параметры заданы, щёлкнем по кнопке ОК, Excel выполнит все необходимые вычисления и разместит результаты на листе.

 

4. Правой кнопкой мыши нажмите на одно из значений графика Прогноза. Далее в диалоговом окне выберите Добавить линию тренда.

5. В диалоговом окне Линия тренда выберите тип предполагаемой зависимости, например, предположим, что зависимость линейная. Далее выберите команду Параметры, в появившемся диалоговом окне отметьте флажок на команде Показать уравнение на диаграмме.

 

6. С помощью полученного уравнения У=15,714х – 5,7143 получим прогнозное значение У = 15,714*6– 5,7143 = 89 человек – прогнозное значение количества безработных в следующем году.

 

 

Метод экспоненциального сглаживания, разработанный Р. Брауном,даёт возможность получить оценки параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Данный метод позволяет давать обоснованные прогнозы на основании рядов динамики, имеющих умеренную связь во времени, и обеспечивает большой учёт показателей, достигнутых в последние периоды наблюдения.

Суть метода заключается в сглаживании временного ряда с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчинены экспоненциальному закону. Метод экспоненциального сглаживания не просто экстраполирует действующие зависимости в будущее, а приспосабливается, адаптируется к изменяющимся во времени условиям. Поэтому он является эффективным и надежным методом среднесрочного прогнозирования.

Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания для наиболее распространённого случая, когда тренд описывается линейной функцией. В этом случае используется полином первой степени и тренд выражается двумя членами ряда Тейлора и некоторым малым числом , зависящим от времени:

y=A+Bt+ .

Данное выражение называют линейной моделью Брауна. При выборе начальных условий Браун рекомендует рассчитывать А, В путём выравнивания исходного временного ряда способом наименьших квадратов.

Процесс экспоненциального сглаживания основывается на цепочечных расчётах. Сначала устанавливаются исходные параметры выравнивающих кривых А, В по которым с помощью формул находятся начальные условия. На основе этих условий по формулам определяются характеристики сглаживания, затем – оценки коэффициентов для экспоненциального сглаживания первого порядка в исходном динамическом ряду и, наконец, расчётное значение линейной (y=A+Bt). Полученные на первом этапе характеристики сглаживания затем используются в качестве исходных данных для вычисления второго сглаженного значения в рассматриваемом динамическом ряду и т.д. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будут сглажены все значения исходного временного ряда.

Коэффициенты уравнения (оценки коэффициентов), найденные при экспоненциальном сглаживании последнего значения в исходном динамическом ряду, используются для последующего прогноза.

Начальные приближения для случая линейного тренда равны:

экспоненциальная средняя 1-го порядка:

S (y)=A - ;

экспоненциальная средняя 2-го порядка:

S (y)=A - ,

где – параметр сглаживания.

В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по-разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше , тем больше вклад последних наблюдений в формирование тренда, а влияние начальных условий убывает быстро. При малом прогнозные оценки учитывают все наблюдения, при этом уменьшение влияния более ранней информации происходит медленно.

Для приближенной оценки используют соотношение Брауна:

= ,

где m – число наблюдений (точек) в ретроспективном динамическом ряду.

Зная начальные условия S (y), S (y) и значение параметра , вычисляют экспоненциальные средние 1 и 2-го порядка:

S (y)= y_t + (1- ) S (y);

S (y)= S + (1- ) S (y).

Оценки коэффициентов линейного тренда:

= 2 S (y) - S (y);

= [ S (y)- S (y)].

Прогноз на время t равен:

y_t= + *t.

 

Рассмотрим пример: Пусть задан временной ряд объёма расходов на капитальный ремонт в жилищно-коммунальном хозяйстве города за 5 лет в млн руб в сопоставимых ценах (таблица 5.2):

 

Таблица 5.2 – Динамика расходов на капитальный ремонт в жилищно-коммунальном хозяйстве города, млн руб.

t
Показатель

 

Используя метод экспоненциального сглаживания построить прогноз ожидаемого объёма финансовых расходов на капитальный ремонт в ЖКХ города.

Согласно имеющейся динамике показателя расходов можно предположить, что тренд описывается линейной функцией.

Рассмотрим решение задачи средствами Excel.

1. Заносим статистические данные на лист Excel.

2. В меню СЕРВИС выберите команду АНАЛИЗ ДАННЫХ.

 

 

Если раздел АНАЛИЗ ДАННЫХ отсутствует, то его необходимо установить. Для установки раздела АНАЛИЗ ДАННЫХ в пакете Excel необходимо выполнить следующее:

А) в меню СЕРВИС выберите команду НАДСТРОЙКИ;

Б) в появившемся списке установите флажок ПАКЕТ АНАЛИЗА.

 

3. В открывшемся диалоговом окне АНАЛИЗ ДАННЫХ выберите инструмент ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ Þ ОК.

 

4.В диалоговом окне ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ необходимо определить следующие параметры:

 

 

· В поле Входной интервал укажем диапазон с исходными данными (В3:В7).

· Укажем Фактор затухания равный 0,2.

· Установим курсор в поле Выходной интервал, мышкой укажем любую ячейку, например D2.

· Установим флажок на команде вывод графика.

· После того как все параметры заданы, щёлкнем по кнопке ОК, Excel выполнит все необходимые вычисления и разместит результаты на листе.

 

5. Правой кнопкой мыши нажмите на одно из значений графика Прогноза. Далее в диалоговом окне выберите Добавить линию тренда.

 

6. В диалоговом окне Линия тренда выберите тип предполагаемой зависимости: предположим, что зависимость линейная. Далее выберите команду Параметры, в появившемся диалоговом окне отметьте флажок на команде Показать уравнение на диаграмме.

С помощью полученного уравнения У= 7,3248х + 9,3024 получим прогнозное значение У = 7,3248*5 + 9,3024, где «5» период прогноза. Получим 45,93 млн руб. – прогнозное значение объёма расходов на капитальный ремонт в ЖКХ города на следующий год.

 

Контрольные вопросы и задания для самостоятельной подготовки

1. В чём сущность экстраполяции? Назовите известные вам виды экстраполяции.

2. На основе каких методов осуществляется анализ рядов динамики?

3. Что такое тренд? Какими функциями может описываться тенденция развития?

4. Назовите основные методы прогнозной экстраполяции?

5. В чём сущность метода скользящей средней? В каких случаях он применяется в прогнозировании?

6. В чём достоинства метода экспоненциального сглаживания по сравнению с другими методами прогнозной экстраполяции.

7. Имеется временной ряд показателя численности занятых в экономике города, на основе метода скользящей средней сделать прогноз этого показателя на следующий год:

	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год	6 год	7 год
Численность занятых, тыс.чел.

 

8. Используя метод экспоненциального сглаживания, сделать прогноз среднедушевых доходов населения в регионе, при условии, что:

	1 год	2 год	3 год	4 год	5 год	6 год	7 год
Среднедуше-вые доходы населения, руб