Второй способ приведения уравнений эллипса и гиперболы к каноническому виду через собственные числа и собственные векторы квадратичной формы

 

Рассмотрим на примере.

Пример 5 (676).

.

.

Решение.

1. Выделим квадратичную форму в уравнении:

,

.

2. Составляем матрицу этой квадратичной формы:

,

– кривая гиперболического типа.

3. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы. Для этого составляем характеристичекое уравнение:

,

.

4. Находим координаты собственных векторов.

При

.

При

.

5. Нормируем векторы и . Для этого находим их длину:

.

6. Находим координаты единичных векторов:

и .

7. Составляем ортонормированную матрицу (координаты единичных векторов записаны в столбец):

.

8. Переходим к новым координатам.

Из первой строки матрицы имеем:

.

Из второй строки матрицы :

.

9. Новые координаты подставим в исходное уравнение. После тождественных преобразований получаем в квадратичной форме коэффициент при «» равен меньшему собственному числу (), а коэффициент при «» равен большему собственному числу (). Слагаемое с «» исчезает. Об этом надо помнить и пользоваться, так что новые координаты в исходное уравнение подставлять только в оставшуюся от квадратичной формы часть, то есть:

.

После приведения подобных, имеем:

,

,

,

.

Данная линия представляет собой гиперболу с центром в точке и действительной осью .