Понятие определенного интеграла

 

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разделим отрезок на n произвольных частей точками а = х₀ < x₁< x₂ <… < x_n = b. Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку x_k. Длину каждого отрезка обозначим Dх_k.

Длину наибольшего из отрезков обозначим через d. Составим сумму всех произведений f (x_k)Dх_{k .} При различных разбиениях отрезка [а,b] на части будут получаться

различные суммы, которые называются интегральными суммами.

Определенныминтегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков d стремится к нулю:

I =

 

Другими словами, из всей совокупности неопределенного интеграла F(х) + С можно выбрать один – определенный интеграл, если будут заданы пределы изменения для переменной х от a до b. Определенный интеграл обозначается символом:

,

где а – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования.

 

Процесс вычисления определенного интеграла производится по формуле Ньютона - Лейбница:

= F (b) – F (a)

Чтобы вычислить определенный интеграл нужно:

1.найти неопределенный интеграл от функции, в котором постоянная С = 0;

2. в полученном выражении подставить вместо х сначала верхний предел b, затем вычесть выражение с нижним пределом а.

Формула Ньютона –Лейбница устанавливает связь определенного интеграла с неопределенным интегралом.