Перемещения сечений при изгибе. Метод начальных параметров

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона , каса­тельной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).

Рис. 5.23

Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реаль­ных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления

В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y (z) и  (z) = =  (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z  функцию пере­мещений y (z) и функцию углов поворота  (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

.(5.17)

Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:

.

В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное диф­ференциальное соотношение

, (5.19)

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота попе­речного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно по­логой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и E I_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

Рис. 5.24

Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить метод начальных параметров, суть которого в следующем.

Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сечением, нагруженную вза­имоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси y). На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражение изгибающих моментов для каждого из пяти участков заданной системы.

На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

Для вывода обобщенного выражения изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и иг­норировать при z  l_i. На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M + P (z  l ₂) + 

(5.20)Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выра­жение для прогибов:

E I_x y (z) = C ₀ + C ₁ z + + +  (5.21) Постоянные интегрирования C ₀ и C ₁ по своей сути означают:

C ₀ = E I_x y (0), C ₁ = (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий оконча­тельный вид:

E I_x y (z) = E I_x y ₀ + z + + +

+  . (5.23)

Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_x  (z) = + +

+  . (5.24)

Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y ₀ , угла поворота ₀ в начале системы коорди­нат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому дан­ный метод и называется методом начальных параметров.