Длина дуги плоской кривой

	Если кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат уравнением , от точки до то
Если кривая задана параметрически: то точки А та В имеют координаты то
	Если кривая задана своим уравнением в полярных координатах: и координаты точек А и В: то

 

Примеры:

Пример 1. Вычислить интегралы: а) б) в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример 2. Исследовать на сходимость интеграл

Решение:

Т.о., данный интеграл является сходящимся.

 

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение:

Найдем точки пересечения прямой с параболой:

Искомую площадь найдем как разность двух площадей криволинейных трапеций: ограниченных прямой и параболой.

 

 

 

Ответ: (кв.ед.).

Пример 4. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кардиоидой

Решение

 

Пример 5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох косинусоиды в пределах от до .

Решение:

Объем тела вращения находим по формуле где в нашем случае

Пример 6. Вычислить длину одной арки циклоиды

Решение:

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрически вычисляется так: Найдем для нашего случая

Тогда

 

Пример 7. Вычислить с помощью формулы трапеций приближенное значение определенного интеграла при n = 10.

Решение

i
	0.1	0.909
	0.2	0.833
	0.3	0.769
	0.4	0.714
	0.5	0.667
	0.6	0.625
	0.7	0.588
	0.8	0.555
	0.9	0.526
		0.5

Подынтегральная функция . Разобьем сегмент [0;1] на 10 частей, получим точки и вычислим . Составим таблицу.

Используя данные, взятые из таблицы, приближенно вычислим интеграл:

Ответ: