Лінійний закон

Лінійний закон являє собою узагальнення відомих емпіричних фактів, які формулюються у вигляді наступних законів:

а) закона ФікаJ _n = – D Ñ; n,що пов’язує потік частинок J _n, тобто кількість частинок, що за одиницю часу перети­нають одиницю площі в перпендикулярному напрямку, і різницю (градієнт) концентрації Ñ; n,

б) законФур’є J _Q = – l Ñ; Т,що пов’язує потік тепла J _Q і різницю (градієнт) температури Ñ; Т,

в) законОма J _j = – s Ñ; j,що пов’язує потік заряду (густину електричного струму) J_j і градієнт потенціалу електрич­ного поля Ñ; j.

Нагадаємо (див параграф 1.2.2 в першому томі), що градієнт Ñ; А певної скалярної величини А є вектор, який за модулем дорівнює максимальному значенню похідної , а за напрямком співпадає з напрямком зростання величини А.

Процеси переносу, в яких градієнт даної властивості викликає потік цієї ж фізичної властивості, називаються прямими процесами переносу. Очевидно, що перераховані вище приклади відносяться саме до такого класу процесів переносу. Окрім прямих, існують непрямі (перехресні) процеси переносу, в яких градієнт однієї фізичної власти­вості викликає потік іншої фізичної властивості.

Розглянемо приклад так званих термодифузійних явищ. Нехай у деякому середовищі мають місце два градієнти: концентрації n і температури Т. Тоді в такому середовищі виникають потоки частинок і тепла, причому

J _n = – D Ñ; n – a Ñ; T,

J _Q = – l Ñ; T – b Ñ; n.

Процес виникнення потоку частинок під дією градієнту температури носить назву ефекту Соре (другий доданок у рівнянні для J _n). Зворотний процес, пов’язаний з виник­ненням потоку тепла під дією градієнту концентрації, називається ефектом Дюфура. Ще одним прикладом непрямого процесу переносу є термоелектропровідність – виникнення потоку електричного заряду під дією градієнту температури.

Для узагальнення наведених вище емпіричних законів розглянемо

а) термодинамічні сили

Х _і Þ { Ñ; n, Ñ; T, Ñ; j, Ñ u,...},

що зв’язані з градієнтами різних фізичних величин (кон­центра­ції, температури, потенціалу електричного поля, швид­кості тощо), а також

б) потоки

J _i Þ { J _n, J _q, J _e, J _mv,...}

кількості частинок, тепла, електричного заряду, імпульсу тощо.

Лінійний закон термодинаміки незворотних процесів стверджує: кожний потік являє собою лінійну функцію від термодинамічних сил, тобто:

, (7.7)

де L_ik – так звані кінетичні коефіцієнти, а N – загальна кількість термодинамічних сил в системі. Зауважимо, що лінійний закон справедливий при порівняно невеликих відхиленнях системи від положення рівноваги, коли гра­дієн­ти фізичних властивостей (термодинамічні сили) є малими. При великих відхиленнях від положення рівноваги необхідно враховувати старші по Х_k доданки – квадратичні, кубічні тощо. Природно, що така теорія ускладнюється. Тут розглядається лише лінійний варіант термодинамічної теорії незворотних процесів.

Відзначимо ще один, здавалося б очевидний факт, що носить назву принципу Кюрі: лінійний закон повинен зв’язувати потоки і термодинамічні сили однієї і тієї ж скалярної, векторної (в загальному випадку – тензорної) розмірності. Іншими словами, в кожне рівняння лінійного закону повинні входити або скалярні величини, такі як тиск (ці величини звуть ще тензорами нульового рангу), або векторні величини, такі як градієнти концентрації, темпера­тури, потенціалу електричного поля, а також потоки части­нок, тепла, електричного заряду (ці величини звуть ще тензорами першого рангу), або так звані тензори другого рангу, якими є потік імпульсу та градієнт швидкості.Принцип Кюрі дозволяє встановити достатньо нетривіальні факти, згідно з якими, наприклад, потік частинок, що є векторною величиною, не може викликатися просторовими похідними від швидкості, тобто тензорними величинами 2-го рангу) та інші.