Замечание.

При вычислении десятичного значения р -ичной дроби по развернутой форме с использованием калькулятора также целесообразно пользоваться схемой Горнера, что минимизирует количество арифметических действий и исключает возведение в степень.

Пример 4.

а) Перевести .

Ответ: .

б) Перевести .

Ответ: .

в) Перевести .

Ответ: .

При переводе неправильной конечной р -ичной дроби в десятичную систему счисления необходимо перевести как целую, так и дробную части с помощью развернутой формы представления чисел.

Пример 5.

Перевести .

Ответ: .

Замечание. Конечную р -ичную дробь не всегда можно представить в виде конечной десятичной дроби. Если нахождение значения десятичной дроби с помощью развернутой формы представления числа будет затруднено, то исходную дробь следует представить в виде обыкновенной дроби, в числителе которой будет развернутая форма числа, стоящего после точки (запятой), а знаменателем – р в соответствующей степени.

Пример 6.

а) Перевести .

Ответ: .

б) Перевести .

Ответ: .

Перевод правильной бесконечной периодической p -ичной дроби в десятичную систему счисления заключается в представлении исходной дроби в виде обыкновенной дроби, в числители которой будет записан период в развернутой форме, а знаменатель – р в соответствующей степени, уменьшенный на единицу.

Пример 7.

a) Перевести .

Ответ: .

б) Перевести .

Ответ: .

в) Перевести .

Ответ: .

Перевод целого числа из десятичной системы счисления в p -ичную осуществляется последовательным целочисленным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков от деления в обратном порядке, начиная с последнего частного от деления.

Пример 8.

а) Перевести .

 

176
	16

 

Ответ: .

б) Перевести .

48
	32
128
14

 

Результат .

Перевод правильной конечной дроби из десятичной системы счисления в p -ичную осуществляетсяпоследовательным умножением на основание той системы, в которую она переводится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю, или не выделится период. При этом умножаются только дробные части. Дробь в новой системе счисления записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.

Пример 9.

а) Перевести .

	3125 8
	5000 8

 

Ответ: .

б)Перевести .

 

	65´ 2
	3 ´ 2
	6 ´ 2
	2 ´ 2
	4 ´ 2
	8 ´ 2
	6 ´ 2
	...

 

 

Ответ: .

При переводе неправильной конечной десятичной дроби в р -ичную систему счисления необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную, а затем их соединить.

Пример 10.

Перевести .

1) Переведем целую часть:

 

 

2) Переведем дробную часть:

	125 2
	25 2
	5 2

 

Таким образом ; .

Ответ: .

Необходимо отметить, что целые числа остаются целыми, а правильные дроби – правильными в любой системе счисления.

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в р -ичную состоит в том, что периодическую дробь представляем в виде обыкновенной (числителем будет являться период, а знаменателем – 10 в степени, соответствующей количеству цифр периода, уменьшенным на единицу), затем целочисленные числитель и знаменатель переводим в р -ичную систему, далее делим числитель на знаменатель и получаем р -ичную дробь.

Пример 11.

a) Перевести .

Ответ: .

б) Перевести .

Ответ: .

Замечание. Конечной или бесконечной периодической десятичной дроби всегда соответствует или конечная, или бесконечная периодическая дробь в р -ичной системе счисления. Перевод бесконечной непериодической дроби (иррационального числа) возможно лишь с определенной степенью точности.

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную систему счисления достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (таб. 1) и отбросить незначащие нули в старших и младших разрядах.

Пример 12.

а) Перевести .

 

=

 

Ответ: .

б) Перевести .

= .

Ответ: .

Для перевода из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления поступают следующим образом: двигаясь от точки разделения целой и дробной части числа влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три или четыре разряда, дополняют при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду или тетраду заменяют соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Пример 13.

а) Перевести .

Ответ:

б) Перевести .

Ответ: .

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример 14.

Перевести .

Ответ: .