Продольные и поперечные деформации

Под действием продольной силы стержень изменяет свою длину (деформируется – удлиняется или укорачивается). Приращение длины стержня Δℓ; – абсолютная линейная деформация его.

Рассмотрим участок стержня элементарной длины dz (рисунок 11 а). Видим, что после приложения нагрузки – продольной силы , где A – площадь поперечного сечения стержня, данный участок получит абсолютную линейную деформацию Δdz.

 

Рисунок 11. Продольная (а) и поперечная (б) деформация элементарного участка стержня

 

Знаем, что относительная продольная деформация определяется отношением

. (1)

На достаточном удалении от мест приложения внешней силы (гипотеза Сен-Венана) сечения после нагружения остаются плоскими, и перемещаются параллельно самим себе (гипотеза Бернулли – плоских сечений). Следовательно, по всему сечению действуют нормальные напряжения одинаковой величины: σ=const.

Отсюда следует постоянство продольной деформации по высоте и ширине сечения ε = const.

Тогда, суммируя абсолютные удлинения малых элементов Δdz = εdz по всей длине стержня, получим:

. [м, см, мм] (2)

Относительная продольная деформация стержня при простом растяжении:

. [%] (3)

Легко видеть, что и в направлении осей X и Y поперечное сечение стержня также деформируется – поперечные размеры сечения уменьшаются при его растяжении и увеличиваются при сжатии (рисунок 4 б). Это есть поперечная деформация: абсолютная (Δa и Δb) и относительная:

. (4)

Они записаны со знаком минус, т.к. продольная и поперечная деформации имеют обратные знаки. Отметим, что для изотропных материалов .