Однородные дифференциальные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией измерения относительно аргументов x и y, если равенство справедливо для любого при котором функция определена,

Например, функция является однородной четвертого измерения так как

Функция является однородной измерения поскольку

Если поскольку - однородная функция нулевого измерения, так как

где

Определение. Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

(1)

называется однородным относительно переменных х и у, если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е.

(2)

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

будет однородным в том и только в том случае, когда -однородные функции одного и того же измерения т.е. Действительно, переписав его в нормальной форме:

легко заключаем, что - однородная функция нулевого измерения, поскольку

Следовательно, уравнение (1) в явном виде всегда можно записать в виде то положив получим:

Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1)=0.

►Так как функции и - однородные второго измерения, то данное уравнение – однородное. Сделаем замену

Тогда

Предполагая, что х≠0, сокращаем обе части уравнения на . Далее имеем

Разделяя переменные, последовательно находим:

.

В последнее выражение вместо и подставим значение у/х. Получим общий интеграл:

.

Разрешив его относительно у, найдем общее решение исходного дифференциального уравнения:

Использовав начальное условие у(1)=0, определим значение С:

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид ◄