Теорема 3. (Интегральный признак сходимости ряда)

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е. и пусть - такая непрерывная, положительная и невозрастающая функция, что ,

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если несобственный интеграл сходится, то и сходится и ряд (1).

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

Решение. Пусть . Применим интегральный признак. Так как

,

то есть несобственный интеграл 1-го рода сходится, тогда данный ряд сходится.

 

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Аудиторное задание

1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:

а) ; б)

(Ответ: а) ; б) ).

2. Исследовать на сходимость следующие ряды;

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

 

3. Доказать:

а) ; б) при .

 

4. Исследовать сходимость следующих рядов с помощью интегрального признака Коши:

 

а) ; б) ; в) .

 

Домашнее задание

1. доказать сходимость ряда и найти его сумму. (Ответ: )

2. исследовать сходимость ряда.

3. доказать сходимость ряда и найти его сумму.

 

4. исследовать сходимость ряда.

5. доказать сходимость ряда и найти его сумму.

(Ответ: )

6. исследовать сходимость ряда.

Литература.

1. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, - Мн.: Выш. Шк., 2000, 303 с.

2. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, Часть 2- Мн.: Выш. Шк., 2002, 396 с.

3. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, Часть 3- Мн.: Выш. Шк., 2002, 288 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч.1: Учеб. Пособие для втузов. – М.: Высш. Школа, 1999, - 304 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа, под редакцией А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.– М.: Наука, 1981, 464 с.