IV этап. Постановка домашнего задания.

1) Выучите доказательство формулы Герона одним из двух способов.

2) Докажите формулу Брахмагупты [2]: площадь четырехугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле: , где - стороны четырехугольника, а - его полупериметр. (1274, Атанасян).

Указание: по свойству четырехугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов составляет ; разбить четырехугольник на два треугольника.

3) 30 (2,3,5), 34 (стр. 228, Погорелов).

Доказательство формулы Брахмагупты.

Дано: - четырехугольник, описанная окружность, , .

Доказать: , где .

Объяснение доказательства.

Деятельностный подход в объяснении доказательства синтетическим методом с использованием:

1) геометрического конструирования;

2) метода площадей;

3) приема введения вспомогательного отрезка ;

4) «самого сильного метода в математике».

Вспомогательное утверждение (доказывается в 8 классе). Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .

В условиях задачи получаем, что, например, .

I этап. Геометрическое конструирование. Разобьем четырехугольник на два треугольника и диагональю .

II этап. Метод площадей. По формуле Снеллиуса площади треугольника .

III этап. Тригонометрическое моделирование длины вспомогательного отрезка . Выразим через стороны четырехугольника, пользуясь теоремой косинусов и основным тригонометрическим тождеством:

1) Прием введения вспомогательного отрезка . В ; в ;

2) Приравняем правые части полученных равенств и выразим ;

3) .

IV этап, заключительный. Подставив это выражение в формулу площади четырехугольника, возведенную в квадрат, и четырежды применяя «самый сильный метод в математике», получим:

Отсюда получаем, что . Ч.т.д.

 

30 (стр. 228, Погорелов). Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 5) 13, .