Механический смысл векторного произведения

1)

В

А

Пусть сила приложена к точке В. Тогда моментом силы относительно точки А называется вектор такой, что , где вектор - плечо АВ, .

 

2) Пусть материальная точка движется по окружности с центром в точке О,

M

O

- линейная скорость движения точки, - радиус-вектор точки М. Тогда угловой скоростью материальной точки называется вектор такой, что .

Свойства векторного произведения.

1. – коллинеарные векторы. (3)

Доказательство.

Доказательство необходимости: 1) Пусть – ненулевые векторы. Тогда длина векторного произведения тогда и только тогда, когда , т.е. когда . 2) Пусть среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). По определению -вектор можно считать параллельным любому вектору, т.е. пусть .

Доказательство достаточности: 1) Пусть , причем – ненулевые векторы. Тогда длина векторного произведения , так как . 2) Пусть , причем среди векторов может быть нулевой вектор (или оба нулевые). Тогда длина векторного произведения равна нулю, так как длина - вектора равна 0. (что и треб. доказать).

Частный случай:

2. (Пояснение: из-за смены троек)

3. Скалярный квадрат векторного произведения равен квадрату модуля векторного произведения: (следует из 2-го свойства скалярного произведения)

4. Если – действительное число, то

(Пояснение: если одну из сторон параллелограмма увеличить в λ; раз, не меняя ее направление, то и площадь увеличиться в λ; раз).

5. ,

Перемножаем, строго соблюдая порядок.

6.

7.

 

Таблица векторного умножения ортов

Углы , , , , ,

; тогда ; длины ортов равны .

Следовательно, исходя из определения векторного произведения, можем записать, что

, , ,

.