Пример 9

Для стального вала постоянного поперечного сечения (рис. 14 а)

 

 

 

1) определить значение моментов М₁, М₂, М₃, М₄

2) построить эпюру крутящих моментов

3) определить диаметр вала из условий прочности и жесткости, если [t] = 30МПа, [j]=0, 02 рад/м; w=40 рад/с, Р₁=20, кВт Р₃=10 кВт, Р₄= 30кВт.

Решение.

1. Определяем величины внешних скручивающих моментов М₁; М₃; М₄:

М₁= =500 Нм

М₃= =250 Нм

М₄= =750 Нм

5. Определим уравновешивающий момент М₂ из условия å М = 0 (равномерное вращение).

М₁-М₂+М₃+М₄=0

М₂=М₁+М₃+М₄=500+250+750=1500 Нм

6.Используя метод сечений, определим крутящие моменты на каждом участке

Мк₁ = - М₁ = -500 Нм

Мк₂ = -М₁ + М₂ = -500 + 1500 = 1000 Нм

Мк₃ = М₄ = 750 Нм

По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 14 б).

Из эпюры видно, что опасным является участок 2, где Мк_мах= 1000 Нм

4. Определим диаметр вала из условия прочности

d =

 

5. Определим диаметр вала из условия жесткости

d = =

Окончательно принимаем d = 55 мм

 

Третья задача (задачи 81…90)

К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Изгиб». Изгиб- это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, такой изгиб называют поперечным; если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. Изгибающий момент М_и в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести сечения М_{и =}å Мi. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть: Q = å F. Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно продольной оси бруса.

Правило знаков для поперечной силы: силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рис. 15, а), а силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рис. 15, б)

 

 

	Рис. 15

 

 

Рис. 16

Правило знаков для изгибающих моментов. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз – растянутые волокна расположены снизу (рис. 16, а), а при изгибе выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, момент отрицателен. (рис. 16, б).

Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

Приведем некоторые правила построения эпюр.

Для эпюры поперечных сил:

1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки.

2. На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки.

3. В сечении балки, где приложена пара сил, поперечная сила не изменяет своего значения.

4. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, эпюра поперечных сил, меняется скачкообразно на значение, равное приложенной силе.

5. В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1. На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

2. На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3. В сечении балки, где приложена пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равнее моменту приложенной пары.

4. Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если к нему не приложена пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара, то изгибающий момент в этом сечении равен моменту приложенной пары.

5. На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.

6. Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знаки с «+» на “ - ” или с “ - ” на «+».

В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки, выполненной их прокатного профиля - двутавра.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид σ _max= ≤ [ σ ], W_x- осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности и определяют необходимое значение осевого момента сопротивления.W_x≥ M_max/[ σ ].

По найденному моменту сопротивления W_x подбирают соответствующее сечение по сортаменту (табл. 14).

Для закрепленной одним концом балки расчет целесообразно вести со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке).

Последовательность решения задачи:

1. Балку разделить на участки по характерным точкам.

2. Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

3. Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

4. Для данной балки, имеющей по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проверочный расчет.