Пример решения задачи 3.3

Пусть: m₁ =100, m₂ = 150, m₃ = 400 кг, М=4200+200t Нм, М_С =2000 Нм = соnst,

R₁=60, R₂=40 cм, r₂=20 cм, i_x1=20√ 2, i_xb= 30см, w₁₀= 2c^-1.

Найти уравнение вращательного движения звена второго механизма), а также окружное усилие S в точке касания звеньев 1 и 2 и натяжение нити Т в момент времени t₁ (рис.3.6).

Решение

К звену 1 механизма приложена сила тяжести , движущий момент М, составляющие реакции подшипника , , окружное усилие и нормальная реакция звена 2.

К звену 2 механизма приложена сила тяжести , момент сил сопротивления , составляющие реакции подшипника , , натяжение нити Т, к которой подвешен груз 3, окружное усилие и нормальная реакция звена 1.

К грузу 3 приложена сила тяжести , и натяжение нити Т.

Рисунок 3.6.

 

Очевидно: = - , = - и .

Составим дифференциальное уравнение вращения звена 1 вокруг неподвижной оси :

= .

Главный момент внешних сил, приложенных к звену 1 относительно оси

Момент М приводит в движение систему и поэтому принят положительным, а момент, создаваемый усилием , препятствует вращению звена 1 и, следовательно, отрицателен.

Дифференциальное уравнение вращательного движения звена 1 примет вид .

Выразим угловое ускорение звена 1 через угловое ускорение звена 2.

Так как , то .

Тогда уравнение принимает следующий вид:

Для составления дифференциального уравнения вращения вокруг оси звена 2, к которому подвешен груз 3, применим теорему об изменении кинетического момента

Кинетический момент системы 2-3 относительно оси

,

где - кинетический момент звена 2, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси ;

- момент количества движения груза 3, движущегося поступательно со скоростью V. Так как V= ,

,

где - приведённый к оси момент инерции системы 2-3.

Главный момент

 

Момент, создаваемый усилием , приводит к движению системы 2-3 и поэтому принят положительным, а момент силы тяжести груза и момент сил сопротивления препятствует движению системы и, следовательно, отрицательны.

Таким образом, получаем

Дифференциальное уравнение вращения звена 2:

= .

В полученной системе уравнений

Неизвестные усилия и угловое ускорение . Исключим , для чего первое уравнение этой системы умножим на , второе на и сложим соответствующие части уравнений:

() ,

Отсюда .

Данное выражение определяет в общем виде угловое ускорение звена 2 механизма.

Учитывая исходные данные, найдём:

= 100 (0, 2 )² = 8 кг м²,

= + = 150·0, 3² + 400·0, 2² =29, 5 кг м²

тогда

Интегрируем это выражение дважды:

+ 0, 4597t + ; 0, 672 t³ + 0, 230 t² + C₁t + C₂

Для определения постоянных интегрирования используем начальные условия задачи: при t = 0; = 0;

2 · = 3

Следовательно, = С₁; = С₂, т.е. С₁ = 3 с^-1, С₂ = 0.

Уравнение угловой скорости звена 2 имеет вид

2, 017·t² + 0, 4597·t + 3, с^-1.

Искомое уравнение вращательного движения звена 2 имеет вид

0, 672·t³ + 0, 230·t² + 3t, рад.

Окружное усилие S можно определить из уравнения:

, при t = 1 c

Рис. 3.7.

S =

=

Рис.11.5

Для определения натяжения нити Т составим дифференциальное уравнение вращения звена 2 в следующем виде (Рис.3.6):

= , из которого T= ,

при t = 1 c

Рис. 11.5.

Т=