Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула Эйлера для критической силы





Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, т.е. когда он слегка прогнулся (см. рис. 15.1). В произвольном сечении, взятом на расстоянии z от левого конца стержня, изгибающий момент от критической силы равен:

где - прогиб стержня.

 

 

Рис.15.1

Знак "минус" взят потому, что стержень изгибается концами вниз. Если бы стержень прогнулся дугой вниз, то момент был бы положительным, но прогиб - отрицательным, и произведение было бы все равно со знаком "минус".

Согласно формуле (11.1), дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня примет вид:

При сжатии вдоль оси стержень всегда изгибается относительно той оси, момент инерции относительно которой минимальный. В этом можно убедиться, сжимая линейку. Поэтому в формуле (15.1) берем минимальный осевой момент инерции сечения.

Преобразуем уравнение (15.1):

Обозначив

получим:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

Для определения произвольных постоянных А и В используем граничные условия.

При z = 0; y = 0;

Уравнение примет вид:

Как видно из уравнения (15.5), стержень изогнется по синусоиде.

Второе граничное условие:

При z = l; y = 0;

Это условие выполняется в двух случаях:

1) B = 0; 2) = 0.

Первый случай отбрасываем, так как при нем прогибы всех точек равны нулю, т.е. стержень остается прямым.

При втором случае:

Возьмем общий случай:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Вместо подставим его значение из формулы (15.2):

или

Принимая = 1, = 2 и т.д., получим последовательный ряд значений , которым соответствуют различные искривленные формы равновесия стержня. С точки зрения расчета на устойчивость нас интересует лишь наименьшее значение критической силы, так как уже при этом значении силы стержень теряет устойчивость. Поэтому = 1 и формула принимает вид:

Критическая сила зависит от способа закрепления концов стержня, поэтому вводится коэффициент - коэффициент приведенной длины (не путать с коэффициентом поперечной деформации). В общем случае формула Эйлера примет вид:

Значения коэффициента даны на рис. 15.2.

Рис. 15.2






Дата добавления: 2014-10-29; просмотров: 207. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.018 сек.) русская версия | украинская версия