Епюр Монжа
196. Заповніть таблицю: «Ранні форми релігії»
197. Заповніть таблицю: «Світові релігії»
198. Заповніть таблицю: «Відмінності між течіями буддизму»
199. Заповніть таблицю: «Загальна характеристика релігій»
200. Заповніть таблицю: «Відмінності між католицизмом і православ’ям»
ВНТУ
УДК 744: 004 ББК 74.580.266.5 К 66
Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України (протокол № від 2011 р.)
Рецензенти: В. Ю. Кучерук, доктор технічних наук, професор Л. І. Тимченко, доктор технічних наук, професор І. П. Паламарчук, доктор технічних наук, професор
ЗМІСТ
Умовні позначення
Найбільш поширені символи
1 Метод і елементи проекціювання. Точка
Побудова зображень у нарисній геометрії основана на методі проекцій. Проекція – це зображення предмета, “відкинуте” на площину за допомогою променів. Спроекціювати предмет на площину – це значить побудувати його зображення на площині. Елементи проекціювання: S – центр проекції; А – точка в просторі, об’єкт проекціювання; П1 – площина проекції; А1 – проекція точки A; SA1 – промінь (рис. 1.1). Проекціювання може бути центральним і паралельним. Якщо проекціювальні промені виходять з однієї точки, таке проекціювання називається центральним. Суть центрального проекціювання полягає в тому, що із центра проекції (точки S)через кожну точку A, B, C і т.д. будь-якого просторового об'єкта проходить промінь, що називається проекціювальним. Цей промінь, перетинаючи площину проекцій П1, дає проекцію даної точки. На площині проекцій кожній точці A, B, C і т.д. просторового об'єкта буде відповідати тільки одна точка A1, B 1, C 1 і т.д. Сукупність усіх проекцій цих точок і дає проекцію даного об'єкта на площині креслення (рис. 1.2).
Якщо проекціювальні промені паралельні між собою, таке проекціювання називається паралельним (рис. 1.3). Якщо проекціювальні промені не перпендикулярні до площини проекцій, проекціювання називається косокутним чи похилим (рис. 1.3). В тому випадку, коли проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій – прямокутним або ортогональним (рис. 1.4). Надалі буде використовуватися тільки паралельне, ортогональне проекціювання.
Епюр Монжа Будь-яке креслення повинно бути оборотним. Пряма задача – будь-яку точку, що знаходиться в просторі, завжди можна cпроекціювати на площину проекції й одержати проекцію цієї точки. Обернена задача – за проекцією точки необхідно визначити її положення в просторі. Якщо дана тільки одна площина проекції, то одній проекції точки в просторі відповідає нескінченна кількість точок. Виходить, одна проекція не визначає положення об'єкта в просторі. Отже, щоб зробити креслення оборотним, потрібні дві проекції точки. На рисунку 1.5 зображено проекції точки A на двох площинах проекцій: П1 – горизонтальна площина проекцій; П2 – фронтальна площина проекцій, причому П1 ^ П2; промені, що проходять через точку А, перпендикулярні до відповідних площин проекцій; А1 – горизонтальна проекція точки А; А2 – фронтальна проекція точки А; Оx – вісь проекцій; Якщо горизонтальну площину проекцій П1 повернути навколо осі Оx до суміщення в одну площину з площиною П2, то таке розгорнуте зображення називають епюром (рис. 1.6).
Рисунок 1.5 Рисунок 1.6 Метод ортогонального проекціювання на дві площини проекцій був запропонований французьким ученим Гаспаром Монжем, а тому метод названий методом Монжа, а отриманий епюр – епюром Монжа.
1.2 Проекціювання точки на три площини проекцій Сукупність двох прямокутних проекцій на дві взаємно перпендикулярні площини дозволяє однозначно визначити форму і положення предмета у просторі. Однак в кресленні при побудові зображень часто використовують три площини проекцій. Нехай задані три взаємно-перпендикулярні площини проекцій, які утворюють прямий тригранний кут (рис. 1.7): П1 – горизонтальна, П2 – фронтальна і П3 – профільна площини проекцій; лінії Ох, Оу, Оz взаємного перетину площин проекцій – осі проекцій, а точка О – початок координат. В просторі задана точка А і потрібно побудувати її проекції на площини П1, П2 і П3. Для цього із точки А проводять проекціювальні промені АА1, АА2, АА3, перпендикулярні до площин проекцій, до перетину з ними. В результаті перетину отримують А1 – горизонтальну, А2 – фронтальну і А3 – профільну проекції точки А. Використовувати таку просторову модель на плоскому кресленні незручно. Тому виконується розгортка площин проекцій. Якщо площини проекцій П1 і П3 повернути відповідно навколо осей Ох і Оz в напрямку, вказаному стрілками, до суміщення з площиною проекцій П2, то отримаємо епюр, який містить у собі три проекції точки (рис. 1.8).
Часто положення точки в просторі задається її координатами. Координати точки у просторі записують А (х, у, z). Відстань від точки А до площини проекції П1 визначається координатою z, до площини проекції П2 – координатою у, до площини проекції П3 – координатою х. Для побудови горизонтальної проекції точки необхідно знати координати ХА і УА. Побудова фронтальної проекції точки ведеться за координатами ХА і ZA, профільної проекції точки – за координатами УА і ZA (рис. 1.8). Пряма А1А2 називається вертикальною лінією зв’язку, А2А3 – горизонтальною лінією зв’язку. Якщо одна з координат точки дорівнює нулю, то точка належить одній з площини проекцій. Наприклад, точка B належить площині П2 (рис. 1.9); точка C належить площині П3 (рис. 1.10). Якщо дві координати точки дорівнюють нулю, то точка належить осі проекцій. Наприклад, точка D знаходиться на осі Ох (рис. 1.11); точка E знаходиться на осі Оу (рис. 1.12).
1.3.Точка в різних чвертях простору.
Площинами проекцій П1 і П2 простір поділяється на чотири чверті (або квадранти) (рис. 1.13). Для отримання епюра площину проекцій П1 повертаємо відносно осі Ох1, 2 за годинниковою стрілкою до суміщення із площиною П2. При цьому передня напівплощина П1 суміститься з нижньою напівплощиною П2, а задня – з верхньою. Розміщення осей показано на рис. 1.14.
Якщо точка знаходиться у перший чверті, то на епюрі її фронтальна проекція розміститься над віссю Ох1, 2, а горизонтальна – під нею (рис. 1.15).
Якщо точка знаходиться у другій чверті, то на епюрі її проекції розмістяться над віссю Ох1, 2 (рис. 1.16).
Якщо точка знаходиться у третій чверті, то на епюрі її горизонтальна проекція розміститься над віссю Ох1, 2, а фронтальна – під нею (рис. 1.17).
Якщо точка знаходиться у четвертій чверті, то горизонтальна і фронтальна проекція знаходяться під віссю Ох1, 2 (рис. 1.18).
1.4 Конкуруючі точки
Точки, які розташовані на одному проекціювальному промені називаються конкуруючими. За допомогою конкуруючих точок визначається видимість геометричних фігур. На рисунку 1.19 показано дві пари конкуруючих точок А і В, С і D. Точки А і В конкурують (збігаються) на П1, точка В невидима. Точки С і D конкурують на П2, точка D невидима. В дужках на епюрі зображають невидимі точки.
Рисунок 1.19
Тести для самоконтролю
1. Точка А з координатами (0; 0; 8) знаходиться: а) на площині П1; б) на площині П2; в) на осі Ох; г) на осі Оz.
2. Креслення фронтально конкуруючих точок показане на рисунку…
Пряма
Оскільки положення прямої в просторі визначається її точками, то для побудови прямої лінії необхідно побудувати проекції двох точок, які належать даній прямій. Такими точками є крайні точки відрізка прямої. Одна проекція прямої не визначає положення прямої в просторі. В площині α можна провести кілька прямих. Їхні проекції можуть збігатися з проекцією прямої АВ на П1 (рис. 2.1). Дві проекції прямої повною мірою визначають її положення у просторі (рис. 2.2).
На рисунку 2.3, а пряма задана відрізком, який обмежений двома точками А і В. На рисунку 2.3, б пряма m не обмежена точками.
|
a, b, d, g…, 
, 
, 
, 
,...
, 
, 
,...
