Багатогранники

 

Об’єднання скінченного числа багатокутників називається багатогранною поверхнею. Багатогранна поверхня називається простою, якщо усі її точки належать даним багатокутникам або загальним сторонам двох багатокутників, або є вершинами багатогранних кутів, плоскими кутами яких служать кути цих багатокутників.

Багатокутники, що складають багатогранну поверхню, називаються її гранями, сторони багатокутників – ребрами, а вершини – вершинами багатогранної поверхні.

З усіх простих багатогранників практичний інтерес становлять піраміди та призми.

Пірамідою називають багатогранник, усі грані якого, крім однієї, мають спільну вершину (рис. 4.24, а). Оскільки всі бічні грані піраміди – трикутники, піраміда повністю визначається заданням її основи та вершини.

Призмою називають багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома паралельними площинами, не паралельними ребрам призми. Ці дві грані називаються основами призми, грані призматичної поверхні – бічними гранями, а її ребра – ребрами призми. Основами призми є рівні між собою багатокутники, бічні ребра призми дорівнюють одне одному. Якщо основи не паралельні між собою, призму називають зрізаною. Коли основами призми є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні, призму називають прямою, якщо ця умова не виконується – похилою (рис. 4.24, б).

а)	б)
Рисунок 4.24

 

На рисунку 4.25 показано приклад багатогранника в трьох проекціях, а в таблиці 1 виконано дослідження цього багатогранника, тобто положення ребер і граней відносно площин проекцій.

 

Рисунок 4.25

 

 

Таблиця 1

Положення відносно площин проекцій	Ребра	Грані
Горизонтальні	-	ABDC
Фронтальні	SВ, SD	BSD
Профільні	-	-
Горизонтально-проекціювальні	-	-
Фронтально- проекціювальні	AB, CD	abs, CDS
Профільно- проекціювальні	AC, BD	ACS
Загального положення	SA, SC	-
Взаємне положення
Паралельні	AB | | DC	-
Перетинаються	AS Ç SC	SAC Ç BDCA
Мимобіжні	AB ° SD	-

Тести для самоконтролю

1. Точка належить площині якщо вона:

а) лежить на прямій, яка паралельна до цієї площини;

б) лежить на двох, що перетинаються й паралельні до цієї площини;

в)лежить на прямій, яка належить цій площині;

г) лежить на прямій, що перетинає цю площину.

 

2. Пряма належить площині, якщо вона:

а) має з нею дві спільні точки;

б) не має спільних точок;

в) паралельна до площини;

г) має одну спільну точку.

 

3.Точка А належить площині Г(а II b) у випадку …

4.8 Графічна робота № 1

Умова:

1. За двома заданими проекціями багатогранника (фронтальною та горизонтальною) побудувати третю (профільну).

2. Визначити положення ребер та граней багатогранника відносно площин проекцій та записати їх до таблиці.

3. Визначити взаємне положення ребер та граней багатогранника і також занести їх до таблиці.

4. Методом прямокутного трикутника побудувати натуральну величину ребра загального положення і визначити кути нахилу цього ребра до площин проекцій П₁, П₂, П₃.

5. Побудувати сліди ребра загального положення на П₁ та П₂.

Мета завдання:

Навчитись за двома проекціями предмета (багатогранника) будувати третю, уявити його об¢ ємне зображення, вміти аналізувати положення ребер та граней, уміти будувати натуральну величину і кути нахилу до площин проекцій прямої загального положення, уміти будувати сліди прямої загального положення на площинах проекцій.

 

Послідовність виконання

1. Побудувати дві проекції багатогранника, позначити всі його вершини великими латинськими буквами А, В, С,... Побудувати третю проекцію за допомогою ліній зв’язку.

2. Визначити положення ребер багатогранника, кожне з яких являє собою відрізок прямої. Для цього необхідно вивчити тему «Пряма». Результати записати в таблицю.

3. Визначити положення граней багатогранника, кожна з яких являє собою площину. Для цього необхідно вивчити тему «Площина», познайомитись з епюрами площин загального та окремого положення. Результати необхідно теж записати до таблиці.

При аналізі прямих (ребер) і площин (граней) враховують, що кожна пряма і кожна площина може мати лише одну назву. Тому для самоконтролю необхідно порахувати скільки ребер та скільки граней має заданий багатогранник.

4. Визначити взаємне положення тієї чи іншої пари прямих (ребер) та площин (граней), враховуючи всі можливі варіанти: паралельності, перетину або мимобіжності. До таблиці записати лише по два ребра або дві грані.

Завдання для графічної роботи № 1 студент вибирає з таблиці за варіантом, який йому пропонує викладач. Приклад виконаного епюра № 1 показано на рисунку 4.26.

 

Рисунок 4.26

 

4.9 Варіанти завдань до виконання графічної роботи № 1

 

5 Метричні задачі

Під метричними розуміють задачі на визначення відстаней, кутів та площ. Для розв’язання більшості метричних та деяких позиційних задач геометричні фігури загального положення треба привести в окреме положення. Це перш за все стосується прямих ліній, площин, гранних і криволінійних поверхонь. Після перетворення комплексного креслення додаткові проекції дають можливість розв’язувати задачі простіше. Методи перетворення проекцій опираються на два основних принципи:

1) зміна взаємного положення об’єкта проекціювання та площин проекцій; 2) зміна напряму проекціювання. На першому принципі ґрунтуються два способи перетворення проекцій: заміна площин проекцій та плоско-паралельне переміщення, а на другому – спосіб допоміжного проекціювання, який має два різновиди: прямокутний та косокутний.

 

5.1 Заміна площин проекцій

 

Суть способу заміни площин проекцій полягає в тому, що положення точок, ліній, плоских фігур у просторі залишається незмінним, а система площин П₁ / П₂ доповнюється новими площинами проекцій – П₄, П₅ і т.д, що утворюють з П₁ і П₂, або між собою, системи двох взаємно перпендикулярних площин. Кожну нову систему площин проекцій вибирають так, щоб отримати положення, найзручніше для виконання необхідної побудови.

На рисунках 5.1, 5.2 зображено точку А. Перпендикулярно до площини П₁ проводять нову площину проекції П₄, на яку ортогонально проекціюють точку А. Таким чином, замість системи площин проекцій П₁ / П₂ з проекціями точки А₁, А₂ одержують нову систему П₁ / П₄ з проекціями точки А₁, А₄. При такій заміні відстань Z_A від старої проекції точки А₁ до старої осі х_{1, 2} дорівнює відстані Z_A від нової проекції точки А₄ до нової осі х_{1, 4}.

Рисунок 5.1	Рисунок 5.2

 

Задача 1. Визначити натуральну величину відрізка АВ прямої загального положення. Перетворити цю пряму в проекціювальну.

Розв’язування. На рисунку 5.3 показано, як у просторі визначається натуральна величина відрізка АВ. Для цього вводиться додаткова площина проекції П₄ паралельно відрізку АВ і перпендикулярно до П₁. Щоб одержати його натуральну величину на епюрі, досить провести нову площину П₄ паралельно одній з проекцій. На рисунку 5.4 нову вісь х_{1, 4} вводять паралельно горизонтальній проекції прямої А₁В₁. На П₂ вимірюють відстані від фронтальних проекцій точок А₂, В₂ до старої осі х_{1, 2} і відкладають на П₄ на лініях зв’язку, перпендикулярних до нової осі х_{1, 4}. Ці відстані на рисунку 5.4 показані рисками. Щоб перетворити відрізок АВ в проекціювальне положення, вводять ще одну додаткову площину проекції П₅. Відстані вимірюють від старої осі х_{1, 4} до проекцій точок А₁ і В₁, відкладають на П₅ від нової осі х_{4, 5} і одержують проекцію відрізка А ₅ В₅. Відрізок АВ на П₅ відображається в точку.

 

Рисунок 5.3	Рисунок 5.4

 

Задача 2. Визначити найкоротшу відстань від точки А прямої l.

Розв’язування. На рисунку 5.5 показано приклад цієї задачі. Паралельно горизонтальній проекції прямої l₁ вводять додаткову площину проекції П₄ і отримують натуральну величину прямої (проекція l₄). Потім вводять ще одну додаткову площину проекції П₅, на яку пряма проекціюється в точку (проекція l₅). Найкоротшою відстанню від точки до прямої буде відрізок А₅К₅.

Рисунок 5.5

 

 

Задача 3. Визначити найкоротшу відстань між паралельними прямими.

Розв’язування. Якщо прямі займають проекціювальне положення (рис.5.6), відстань визначають на тій площині проекції, де прямі спроекційовані в точки. На рисунку 5.7 відрізок А₁В₁ буде найкоротшою відстанню між паралельними прямими а і b.

Якщо паралельні прямі займають фронтальне (рис. 5.8) або горизонтальне положення (прямі рівня), тоді виконують одну заміну площин проекцій. Додаткову площину проекції П₅ вводять перпендикулярно до натуральних величин проекцій прямих a₂ і b₂. На П₅ відрізок А₅В₅ має натуральну величину відстані між прямими a і b.

В тому випадку, коли паралельні прямі займають загальне положення, виконують подвійну заміну площин проекцій (рис. 5.9). На П₄ обидва відрізки C₄D₄ і E₄F₄ проекціюютья в натуральну величину, а на П₅ відображаються в точки. Найкоротшою відстанню між паралельними відрізками CD і EF буде проекція відрізка А₅В₅.

Рисунок 5.6	Рисунок 5.7

 

 

Рисунок 5.8	Рисунок 5.9

Задача 4. Визначити найкоротшу відстань між мимобіжними прямими.

Розв’язування. Якщо одна з мимобіжних прямих займає проекціювальне положення, а друга пряма загального положення (рис. 5.10), відстанню між ними буде перпендикуляр C₁D₁, проведений від проекції прямої а ₁ до проекції прямої b₁ (рис. 5.11).

Якщо одна з мимобіжних прямих горизонталь або фронталь, а друга пряма загального положення, тоді вводять одну додаткову площину проекції П₄ перпендикулярно до тієї прямої, яка має натуральну величину. На рисунку 5.12 нова вісь х_{2, 4} проведена перпендикулярно до фронтальної проекції прямої а₂. На П₄ найкоротшою відстанню між мимобіжними прямими a₄ і b₄ буде натуральна величина відрізка C₄D₄.

На рисунку 5.13 наведено приклад, коли обидва відрізки займають загальне положення. В такому випадку виконують подвійну заміну площин проекцій. Вводять додаткову площину проекції П₄ паралельно відрізку E₁F₁. Нова вісь х_{1, 4} проведена паралельно горизонтальній проекції відрізка E₁F₁. На П₄ відрізок E₄F₄ має натуральну величину, відрізок СD в новій системі П₁ / П₄ займає загальне положення. Потім вводять ще одну додаткову площину проекції П₅ перпендикулярно до натуральної величини відрізка EF – проекції E₄F₄. На П₅ проекція E₅F₅ відрізка відображається в точку. Відрізок СD в системі П₄ / П₅ залишається прямою загального положення. Найкоротшою відстанню між мимобіжними прямими СD і EF буде відрізок А₅В₅. Це є перпендикуляр проведений від E₅F₅ до C₅D₅.

 

 

Рисунок 5.10	Рисунок 5.11

 

Рисунок 5.12	Рисунок 5.13

 

Задача 5. Визначити кути нахилу трикутника ABC до площин проекцій П₁ та П₂.

Розв’язування. Для того, щоб визначити кут нахилу трикутника ABC до П₁, будують горизонтальну пряму (горизонталь) АН, що належить| площині a (D ABC). Побудову горизонталі починають на фронтальній площині проекції П₂, де її проекція паралельна осі х_{1, 2} (рис. 5.14). Горизонтальна проекція горизонталі А₁Н₁ має натуральну величину. Перпендикулярно до А₁Н₁ вводять додаткову площину проекції П₄. На П₄ проекція відрізка А₄Н₄ відображається в точку, а площина трикутника в пряму лінію: П₄ ^ А₁Н₁, х_{1, 4} ^ А₁Н₁ Þ a (D ABC) ^ П₄. Таким чином визначається шуканий кут нахилу Ð j до П₁.

Аналогічно визначають кут нахилу площини трикутника ABC до П₂ (рис. 5.15). Будують фронтальну пряму (фронталь) AF, що належить площині a (D ABC). Фронталь починають будувати на П₁, де її проекція A₁F₁ паралельна осі х_{1, 2}. Фронтальна проекція фронталі A₂F₂ має натуральну величину. Перпендикулярно до A₂F₂ вводять додаткову площину проекції П₄. На П₄ проекція відрізка A₄F₄ відображається в точку, а площина трикутника в пряму лінію: П₄ ^ A₂F₂, х_{2, 4} ^ A₂F₂ Þ a (D ABC)^ П₄. Шуканий кут нахилу Ð g до П₂ визначається між лінією, проведеною із проекції вершини В₄ паралельно осі х_{2, 4} і проекцією трикутника А₄В₄С₄.

Рисунок 5.14	Рисунок 5.15

 

Задача 6. Визначити найкоротшу відстань від точки до площини.

Розв’язування. На рисунку 5.16 показано приклад, де площина b (D ВСD) займає загальне положення. В цьому випадку виконують лише одне перетворення. Додаткову площину проекції П₄ вводять перпендикулярно до натуральної величини прямої рівня, що належить трикутнику ВСD. В нашому випадку це горизонталь h. На П₄ проекція площини трикутника В₄С₄D₄ відображається в пряму лінію. Найкоротшою відстанню від точки до площини буде перпендикуляр А₄К₄, проведений із проекції точки А₄ до проекції площини В₄С₄D₄.

Рисунок 5.16

Задача 7. Побудувати натуральну величину площини.

Розв’язування. В тому випадку, коли площина займає окреме положення, виконують одну заміну площин проекцій. На рисунку 5.17 площина, що задана трикутником АВС займає фронтально-проекціювальне положення. Додаткову площину проекції П₄ вводять паралельно площині a (D ABC). Нову вісь х_{2, 4} проводять паралельно фронтальній проекції трикутника А₂В₂С₂. На П₄ проекція трикутника А₄В₄С₄ має натуральну величину.

Якщо площина в системі П₁ / П₂ займає загальне положення, виконують подвійну заміну площин проекцій. На рисунку 5.18 показано, як площина загального положення, що задана трикутником DEF, перетворюється на П₄ в проекціювальне положення, а на П₅ має натуральну величину.

Рисунок 5.17	Рисунок 5.18

 

 

Задача 8. Визначити кут між двома гранями.

Розв’язування. Якщо лінія перетину двох граней займає загальне положення, виконують подвійну заміну площин проекцій. На рисунку 5.19 лінією перетину двох граней 1АВ і 2АВ є ребро АВ загального положення. Додаткову площину проекції П₄ вводять паралельно ребру АВ. Нова вісь х_{1, 4} проведена паралельно горизонтальній проекції ребра А₁В₁. На П₄ проекція ребра А₄В₄ має натуральну величину. Ще одну площину проекції П₅ вводять перпендикулярно до натуральної величини ребра АВ. Вісь х_{4, 5} проводять перпендикулярно до проекції А₄В₄. Шуканий кут Ð j між двома гранями визначається на П₅, де ребро АВ відображається в точку, а грані 1АВ і 2АВ в прямі лінії: 1₅А₅В₅ Ç 2₅А₅В₅ = А₅В₅, А₅В₅ ^ П₅.

 

Рисунок 5.19

 

Тести для самоконтролю

 

1. Відстань від точки К до площини Σ (АВС) можна знайти без допоміжних побудов на кресленні...

 

1 2 3 4

2. Натуральну величину відстані від точки К до прямої а можна виміряти на кресленні...

1 2 3 4

3. Чотирикутник АВСЕ проекціюється в натуральну величину на кресленні...

 

1 2 3 4

4. Відстань між паралельними площинами можна виміряти на кресленні...

1 2 3 4

6 Криві лінії та поверхні

 

6.1 Криві лінії

У нарисній геометрії криві лінії важливо розглядати як твірні кривих поверхонь. Крива лінія може бути утворена переміщенням точки у просторі, перетином кривих поверхонь площиною, взаємним перетином двох поверхонь. Криві лінії бувають плоскими і просторовими.

Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині (рис. 6.1), просторовими – криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис. 6.2).

Рисунок 6.1

Рисунок 6.2

6.2 Класифікація кривих поверхонь

Поверхнею називають геометричне місце послідовних положень лінії (твірних), що переміщаються у просторі за якимось законом (напрямною).

Способи задання поверхонь:

1. Аналітичний 2. Каркасом 3. Кінематичний 4. Визначником.

Аналітичний спосіб задання поверхні – це задання поверхонь рівнянням. Цей спосіб вивчається в аналітичній геометрії.

Задання поверхні каркасом – це задання поверхні достатньо щільною мережею точок чи ліній, що належать цим поверхням (рис. 6.3).

Якщо каркас поверхні заданий точками, він називається точковим,

якщо лініями, - лінійним. На рисунку 6.4 показано лінійний каркас, що складається з двох сімей ліній: n₁, п₂, n₃, n_i…, n_n і m₁, m₂, m₃, m_i, …, m_n.

 

Рисунок 6.3	Рисунок 6.4

 

Кінематичний спосіб задання поверхонь в основному вивчається в курсі нарисної геометрії.

Поверхня утворюється безупинним переміщенням твірної лінії в просторі.

Твірна лінія може бути: пряма і крива; плоска і просторова; закономірна і незакономірна. Твірна в процесі переміщення може зберігати чи змінювати свою форму. У залежності від виду твірної і характеру її переміщення всі поверхні поділяються на класи.

За виглядом твірної поверхні поділяються на два класи:

прямолінійчаті – де твірною є пряма лінія;

криволінійчаті – де твірною є крива лінія.

За ознакою розгортання поверхні поділяються також на два класи:

розгортні – поверхні, що можуть бути точно сумісні з однією площиною без складок і розривів (конічні, циліндричні й інші); розгортними можуть бути тільки ті поверхні, в яких два безкінечно близьких положення твірних або паралельні між собою, або перетинаються.

нерозгортні – поверхні, які можна сумістити з однією площиною приблизно (сфера, еліпсоїд і т.д.).

За законами утворення:

закономірні – поверхні, які можна задати рівнянням; незакономірні – поверхні, які точним рівнянням описати не можна.

За способом утворення: поверхні переносу; поверхні обертання; гвинтові поверхні.

Крім графічного способу поверхню можна задати визначником.

Визначником називається сукупність параметрів, що відрізняють дану поверхню від усіх інших. Визначник має геометричну й алгоритмічну частини Ф [(Г), (А)].

Геометричною частиною визначника поверхні є геометричні фігури, за допомогою яких зв’язуються параметри множини ліній простору. Алгоритмічна частина характеризує закон руху твірної.

Для більшої наочності ряд поверхонь звичайно задаються обрисом.

Обрис поверхні – це проекція контурної лінії поверхні, тобто лінія, що обмежує дану поверхню на кресленні і розділяє видиму її частину від невидимої.

Класифікацію поверхонь показано на рис. 6.5.

 

Рисунок 6.5

 

6.3 Циліндрична поверхня

Циліндричною поверхнею називається поверхня, яка утворена переміщенням прямої твірної по кривій напрямній (рис. 6.6). Всі твірні паралельні між собою.

Визначник циліндричної поверхні: Ф = [(l, m) (" l Ç m; " l ^k || l ¹)],

де: l – твірна, пряма лінія,

m – напрямна, крива просторова лінія,

S ^¥ – невласна точка.

 

6.4 Конічна поверхня

Конічна поверхня утворюється шляхом переміщення прямої твірної лінії по кривій напрямній (рис. 6.7). Всі твірні перетинаються в одній точці. Ця точка називається вершиною конічної поверхні (власна точка).

Визначник конічної поверхні: Ф = [(l, m, S)(" l Ç m; " l É S)],

де: l – твірна, пряма лінія,

m – напрямна, крива лінія,

S – вершина (власна точка).

Рисунок 6.6	Рисунок 6.7