Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

 

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

Р (А + В) = Р (А) +Р (В).

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

.

Пример 4.1. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Преподаватель задает три вопроса. Зачет будет сдан, если студент ответит хотя бы на два из трех вопросов. Какова вероятность того, что этот студент сдаст зачет.

Решение. Пусть — событие, состоящее в том, что студент ответит на два из заданных трех вопросов, — он ответит на все три вопроса. Тогда, если А — студент сдаст зачет, то . События и несовместны. По классическому определению вероятности

 

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ: Р = 0, 907.

 

 

Пример 4.2. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу четыре учебника. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них в переплете.

Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что по крайней мере два из четырех взятых учебников будут в переплете. Это событие можно представить как сумму трех несовместных событий , где — два учебника в переплете, — три учебника, — четыре учебника в переплете. Найдем вероятности этих событий. Число всех возможных исходов этого опыта

Для события число благоприятных исходов 450,

для события , для . Следовательно,

, , .

По теореме сложения для несовместных событий

Ответ:

 

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Р (А + В) = Р (А) +Р (В) – Р (АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

 

 

Определение 1. Условной вероятностью события А называется вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло событие В. (Условную вероятность будем рассматривать лишь для таких событий В, вероятность наступления которых отлична от нуля).

Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло обозначается символами или .

 

Определение 2. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В с , называется число , которое определяется формулой

.