По прямой

Метод аналитического выравнивания ряда динамики

 

Уравнение прямой линии выражено формулой:

 

,

где - значения выравненного ряда, которые нужно вычислить (теоретические уровни);

 

и - параметры прямой;

- показатель времени (дни, месяцы, годы и т.д.).

 

Для нахождения параметров и необходимо решить систему нормальных уравнений:

 

,

 

где у –фактические уровни ряда динамики;

п – число уровней.

 

Для упрощения расчетов обозначим время так, чтобы начало отсчета времени приходилось на середину рассматриваемого периода:

 

Годы
t	-4	-3	-2	-1

 

Следовательно, ∑ t = 0. Тогда система нормальных уравнений примет вид:

а _о n = ∑ y

 

а ₁∑ t ²=∑ yt

Отсюда а _о = ; а ₁ = .

 

Т а б л и ц а 4

 

Расчет параметров а _{о и} а ₁

 

Годы	Продажа молока и молочных продуктов на душу населения, руб., у	Условные годы, t	t2	yt	yt
А
	10, 0	-4		-40, 0	9, 30
	10, 7	-3		-32, 1	10, 41
	12, 0	-2		-24, 0	11, 52
	10, 3	-1		-10, 3	12, 63
	12, 9				13, 74
	16, 3			16, 3	14, 85
	15, 6			31, 2	15, 96
	17, 8			53, 4	17, 07
	18, 0			72, 0	18, 18
				=

 

Следовательно,

 

а _о = (руб.);

 

а ₁ = (руб.).

 

Таким образом, уравнение прямой примет вид:

 

.

 

Подставив в это уравнение значение t (табл.4. гр.2), получим выравненные теоретические значения y_t (табл. 4, гр. 5).

 

Параметры а_о и а₁ можно исчислить иначе с помощью определителей:

а _о = ; а ₁ =

 

Приведенные формулы показывают, что для нахождения параметров а_о и а₁ необходимо получить следующие значения: ; ; . Обозначив годы (t) порядковыми номерами, определим эти величины и представим их значения в табл. 5.

Т а б л и ц а 5

 

Расчет параметров а _{о и} а ₁ с помощью определителей

 

Годы	Продажа молока и молочных продуктов на душу населения, руб., у	t	t2	yt	yt
А
	10, 0			10, 0	9, 30
	10, 7			21, 4	10, 41
	12, 0			36, 0	11, 52
	10, 3			41, 2	12, 63
	12, 9			64, 5	13, 74
	16, 3			97, 8	14, 85
	15, 6			109, 2	15, 96
	17, 8			142, 4	17, 07
	18, 0			162, 0	18, 18

 

Далее определим параметры а_о и а₁:

 

а_о = = = = 8, 19 руб.;

 

 

а₁ = = = = 1, 11 руб.

 

Следовательно, y = 8, 19 +1, 11 t.

Далее расчет аналогичен приведенному выше. Подставив в это уравнение значения t (табл. 5, гр.2), получим выравненные теоретические значения y_t (табл.5, гр. 5).

 

После решения уравнения наносим на график фактические уровни и исчисленную прямую линию, характеризующую тенденцию динамического ряда.

№ 10. Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года характеризуется следующими данными (т):

 

Годы

Месяцы

I

II

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

X

XI

XII

Первый год

Второй год

Третий год

 

Требуется определить индексы сезонности.

 

Решение. Расчет индексов сезонности в стабильных рядах динамики (к постоянной средней). Для исчисления индексов сезонности применяют различные методы. Выбор метода зависит от характера общей тенденции ряда динамики. Чтобы выявить общую тенденцию ряда динамики, воспользуемся наиболее простым методом: сначала произведем сопоставление месячных уровней одноименных месяцев, затем – укрупнение месячных уровней в годовые и по годовым показателям исчислим темпы роста:

 

Годы	Годовые уровни реализации картофеля, т	Темпы роста, %
к предыдущему году	к первому году
Первый год		-
Второй год		102, 4	102, 4
Третий год		101, 2	103, 6

 

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается стабильность годовых уровней или имеет место незначительная тенденция роста (снижения), изучение сезонности основано на методе постоянной средней. Примером является представленный ряд динамики, в котором цепные и базисные темпы изменяются незначительно, поэтому индекс сезонности будет исчислен по формуле:

 

,

где - средние месячные уровни ряда (по одноименным месяцам);

- общий средний уровень ряда (постоянная средняя).

Применяя формулу средней арифметической простой, определим средние месячные уровни за три года:

.

Тогда

январь (т),

февраль (т) и т.д. (см. табл. 6, гр. 5).

Исчислим общую (постоянную) среднюю:

или ,

 

=

= = 261 т или

 

= 261 т.

 

и, наконец, исчислим за каждый месяц индексы сезонности:

январь

(или 26, 3%);

февраль

(или 27, 6%) и т.д. (см. табл. 6, гр.6).

 

Т а б л и ц а 6

 

Реализация картофеля на колхозных рынках города за три года

 

Месяцы	Реализация картофеля, т	Индексы сезонности, %
Первый год, уі	Второй год, уі	Третий год, уі	Всего за три года, ∑ уі	В среднем за три года,
А
Январь						26, 3
Февраль						27, 6
Март						28, 7
Апрель						96, 9
Май						129, 1
Июнь						178, 5
Июль						110, 0
Август						41, 0
Сентябрь						243, 3
Октябрь						201, 0
Ноябрь						69, 7
Декабрь						47, 9
И т о г о					= 261	100, 0

 

По индексам сезонности можно наблюдать рост или снижение продажи картофеля в различное время года. Так, наименьший спрос приходится на январь – февраль, а наибольший – на сентябрь – октябрь. Для наглядности можно построить график сезонной волны реализации картофеля (см. Ряузов Н.Н. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1984, с. 256).

 

№ 11. Имеются следующие данные о внутригодовой динамике заготовок сельскохозяйственной продукции области по кварталам за три года:

Кварталы	Заготовлено продукции, тыс. руб.
Первый год	Второй год	Третий год
I
II
III
IV

 

Для анализа внутригодовой динамики заготовок сельскохозяйственной продукции области требуется исчислить индексы сезонности.

 

Решение. Вычисление индексов сезонности в рядах динамики с тенденцией развития (к переменной средней). По аналогии с предыдущим примером для каждого года квартальные уровни укрупним до годовых и по ним исчислим темпы роста:

 

Годы	Годовые уровни, тыс. руб.	Темпы роста, %
к предыдущему году	к первому году
Первый год		-
Второй год		105, 8	105, 8
Третий год		106, 3	112, 4

 

Можно заметить, что ряд динамики имеет четкую тенденцию роста заготовок, это подтверждают довольно высокие цепные и базисные темпы роста.

Для анализа рядов внутригодовой динамики, в которых наблюдается тенденция роста, изучение сезонности основано на методе переменной средней.

 

Для расчета индекса сезонности в таких рядах динамики применяется формула:

 

 

где - фактические (эмпирические) уровни ряда;

- выравненные (теоретические) уровни ряда;

п – число лет.

 

Определим теоретические значения () по уравнению:

.

Для расчета параметров а _{о и} а ₁ составим таблицу 7.

 

Т а б л и ц а 7

 

Расчет параметров а _{о и} а ₁

 

Период	Эмпирические уровни ряда, yi	Обозначения времени, t	t2	yt	yt	%
А
Первый год
I квартал		-5, 5	30, 25	-891, 0	162, 6	99, 6
II		-4, 5	20, 25	-765, 0	164, 8	103, 2
III		-3, 5	12, 25	-619, 5	167, 1	195, 9
IV		-2, 5	6, 25	-377, 5	169, 4	89, 1
Второй год
I квартал		-1, 5	2, 25	-238, 5	171, 6	92, 7
II		-0, 5	0, 25	-96, 5	173, 9	111, 0
III		0, 5	0, 25	89, 0	176, 1	101, 1
IV		1, 5	2, 25	252, 0	178, 4	94, 2
Третий год
I квартал		2, 5	6, 25	395, 0	180, 7	87, 4
II		3, 5	12, 25	787, 5	182, 9	123, 0
III		4, 5	20, 25	841, 5	185, 2	101, 0
IV		5, 5	30, 25	946, 0	187, 3	91, 8

 

Исчислим параметры:

 

а _о = ;

а ₁ = .

 

Следовательно, уравнение прямой примет вид:

 

 

Подставив в полученное уравнение значения t (квартальные), получим выравненные значения ряда: