Б) меньшая точность в передаче значений непрерывных функций з(1) и у (О их дискретными представлениями — наборами чисел и у

Вопрос о точности результатов является в описываемом моделировании одним из центральных. Он распадается на два: как оценить эту точность и можно ли, уменьшая А/, достигать все большей точности?

Остановимся вначале на первом. Формулы (7.4), (7.5) представляют собой при­менение метода Эйлера для приближенного решения системы дифференциальных уравнений (7.3). Наиболее приемлемой при использовании этого и родственного ему методов (например, Рунге —Кутта) является эмпирическая оценка точности. Для этого отрезок [/₀, Т] проходится с некоторым шагом А/, а затем с существен­но меньшим (например, в два раза) шагом. Сравнение результатов в точках

/₂> —> ^позволяет составить представление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то следует повторить процесс с еще меньшим шагом.

Однако уменьшение шага А/ не всегда ведет к улучшению результатов модели­рования. Одна из причин заключается в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий, ведущих к увеличению глобальной погрешности округ­ления. Другая причина глубже и связана со способом дискретизации— перехода от описания реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простей­шим формулам (7.4), (7.5). Обе причины могут привести к неустойчивости реше­ния, т. е. к получению результатов, не имеющих реально ничего общего с истин­ными. Обычно неустойчивость становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага А/.

Более эффективными при моделировании процессов, описываемых дифферен­циальными уравнениями, являются методы Рунге —Кутта более высокого порядка аппроксимации, чем метод Эйлера, неявные методы, методы типа «предиктор- корректор», отличающиеся повышенной устойчивостью, и другие, описанные в специальной литературе.

Сила сопротивления. В раде представленных ниже задач необходимо знать, от чего зависит сила сопротивления при движении в среде. При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер движения.

Соответствующие закономерности носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение

^сопр = Мь (7.6)

где к_х определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика к_х = бтсрг — так называемая формула Стокса, где ц — динамическая вязкость среды,

г — радиус шарика. Так, для воздуха при / = 20°С и давлении 1 атм ц = 0, 0182,

м

для воды ц = 1, 002 ^, для глицерина ц = 1480.

М м

При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональ­ной квадрату скорости:

^сопр = к₂у\ (7.7)

Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления формально также сохранится, но если к₂у¹» к_ху, то вкладом к_ху можно пренебречь. О величине к₂ известно следующее: она пропорциональна площади сечения тела поперечного по отношению к потоку, плотностй среды г_среды и зависит от формы тела. Обычно представляют

=|с5р_среды, (7.8)

где с — безразмерный коэффициент лобового сопротивления (рис. 7.1).

Диск

с = 0, 55

Шар

с = 0, 4

Каплевидное тело с = 0, 045 Рис. 7.1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел, поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму

При достижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за обте­каемым телом вихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела, значение с в несколько раз уменьшается; для шара оно становится приблизитель­но равным 0, 1.

с — 1, 11

Полусфера

Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела — уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; про­ецируя силу, скорость и перемещение на ось, направленную вертикально вниз, из (7.3) получаем

 

= v,

йк_ сИ

(7.9)

_ - к_ху

сИ т

 

В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пре­небречь (если она заведомо много меньше другой).

Частичное тестирование моделирующей программы можно провести для дви­жения без трения. Аналитическое решение в этом случае общеизвестно.

Входные параметры модели:

• начальная высота тела;

• начальная скорость тела;

• величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды к_х и к₂.

Взлет ракеты. Построим простейшую модель вертикального взлета ракеты, при­няв гипотезу, что ее масса уменьшается во время взлета по линейному закону:

т(0 = \^Щ ~ ^а/' ^ес™ ^т^ ~ ^ткон' I т_К0Н, если /и(0

^кон*

(7.10)