Приложение I. Некоторые сведения о векторах

Некоторые сведения о векторах

Определение вектора. Физическая величина, характеризующаяся численным значением и направлением в пространстве, называется вектором. Численное значение вектора называется его модулем. Векторы принято обозначать либо буквами жирного шрифта, например а, либо буквой со стрелкой сверху . Мы чаще будем использовать именно второй способ.

Сложение и вычитание векторов. Сложение векторов удобно производить с помощью правила параллелограмма. Если на заданных векторах как на сторонах построить параллелограмм, то диагональ его будет равна сумме векторов, . Разностью двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Умножение вектора на скаляр. В результате умножения вектора на скаляр получается новый вектор , модуль которого в раз больше, чем модуль вектора . Направление же вектора либо совпадает с направлением вектора (если ), либо противоположно ему (если ).

Проекция вектора на ось. Рассмотрим некоторое направление в пространстве, которое мы зададим осью . Пусть вектор образует с нею угол . Величину будем называть проекцией вектора на ось .

Проекция вектора на ось есть величина скалярная. Если вектор образует с осью острый угол , то проекция положительна. Если же угол тупой , то проекция отрицательна.

Радиус-вектор. Радиус-вектором некоторой точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку. Его проекции на координатные оси равны декартовым координатам этой точки:

.

Следовательно, радиус-вектор можно представить в виде

,

где - единичные орты координатных осей.

Скалярное произведение векторов. Два вектора можно умножить друг на друга двумя способами, один из которых приводит к скалярной величине, а другой – к векторной. В соответствии с этим существует два произведения векторов – скалярное и векторное.

Скалярным произведением векторов называется скаляр, равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

.

При записи скалярного произведения символы перемножаемых векторов пишутся рядом без какого-либо знака между ними. Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю. Под квадратом вектора понимается скалярное произведение вектора на самого себя . Таким образом, квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Векторное произведение векторов. Векторным произведением векторов называется вектор , модуль которого определяется выражением

,

а направление – правилом правого винта. Направление вектора совпадает с направлением поступательного перемещения правого винта, если его поворачивать от первого вектора ко второму по кратчайшему пути. Символически векторное произведение записывается двумя способами

.

Векторы, направления которых связывается с направлением вращения, называются псевдовекторами или осевыми векторами.

Поскольку направление векторного произведения определяется направлением вращения от первого сомножителя ко второму, то результат векторного умножения зависит от порядка сомножителей. Перестановка сомножителей вызывает изменение направления результирующего вектора на противоположное, т.е.

.