Практикум по высшей математике

 

Атрощенкова И.Е., Кацуба В.С.

 

 

Функции одной переменной. Предел, непрерывность, дифференцируемость.

 

Оглавление

§1. Функция, основные понятия. §2. Основные свойства функций. §3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей. §4. Сравнение бесконечно малых. §5. Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции. §6. Односторонние пределы. §7. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. §8. Производная. Правила и формулы дифференцирования. §9. Дифференциал функции, его применение. §10. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. §11. Геометрический и механический смысл производной. §12. Производные высших порядков. Список литературы.

4 стр. 5 стр. 10 стр. 14 стр.   23 стр.   26 стр. 32 стр. 34 стр. 41 стр. 51 стр.   56 стр. 59 стр. 66 стр. 70 стр.

 

 

§1. Функция, основные понятия.

 

Пусть дано числовое множество , и пусть каждому поставлено в соответствие единственное число . Тогда говорят, что на множестве определена числовая функция.

Правило, устанавливающее соответствие между и , обозначают некоторым символом, например, , и пишут

В этой записи называют аргументом, или независимой переменной; множество называют областью определения функции, обозначают .

Число , соответствующее значению аргумента , называют значением функции при (значением функции в точке ) и обозначают .Множество значений функции обозначают .

Если функция определена на области D, G – ее область значений, функция определена на области G, то функция называется сложной функцией, составленной из функций и , или композицией функций и . Сложная функция может быть композицией большого числа функций.

Если функция осуществляет взаимно однозначное отображение области D на область E, то можно однозначно выразить через : . Последняя функция называется обратной по отношению к функции . Для функции Е является областью определения, а D – областью значений. Обратную функцию обычно переписывают в стандартном виде: , переобозначив ее аргумент через , а функцию через .

Функции вида называются явными. Уравнение вида также задает функциональную зависимость между x и y. В этом случае по определению называется неявной функцией .

Графиком функции называется множество точек М(х, y) плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют равенству .

К основным элементарным функциям относятся: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические и гиперболические функции.

 

Пример 1.

Дана функция . Найти . При каком значении функция не определена?

 

Решение.

Для нахождения значений функции надо подставить вместо значения и вычислить:

,

.

Данная функция не определена, если знаменатель дроби обращается в ноль, т.е. при .

 

 

Пример 2.

Дана функция .

Найти . Построить график функции.

 

Решение.

Функция определена на отрезке с помощью трех формул, т.е. является кусочно заданной.

Так как значение , то .

Точка , поэтому .

Точки и и, следовательно,

График функции:

 

Пример 3.

Найти область определения функции: a) ;

б) ; в) ; г) .

Решение.

а) Дробь определена только в том случае, если ее знаменатель не обращается в ноль, т.е. если . Значит, областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме . Записывают это так:

 

б) Так как квадратный арифметический корень определен на множестве неотрицательных чисел, то должны одновременно выполняться неравенства . Таким образом, .

 

в) Область определения функции задается неравенством . Следовательно, нахождение области определения данной функции сводится к решению неравенства . Возводя в квадрат, получим равносильную систему:

 

г) Логарифмическая функция определена на множестве положительных чисел, значит , т.е. или . Таким образом,

 

 

Пример 4.

Найти функции, обратные данным: а) , б) , в) , г) .

Решение.

а) Решая уравнение относительно , получим: . Эта функция и будет обратной для данной. Переобозначив x на y и y на x в обратной функции, получим .

 

б) По смыслу уравнения, которым определяется функция имеем что, и . Возводя в квадрат, получим обратную функцию . Переобозначив ее аргумент и функцию, получим , где .

 

в) Данная функция не задает взаимно однозначного соответствия, т.к. различным значениям x из области определения D(y)= могут соответствовать равные значения y, например, . Значит, для нее нет обратной функции.

 

г) Эта функция на указанной области определения задает взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому значению соответствует единственное значение .

Решим уравнение относительно :

,

но т.к. , то получим или, переходя к обычным обозначениям, , где .

 

 

Пример 5.

Представить сложные функции в виде композиции основных элементарных функций: а) ; б) .

Решение.

а) , и тогда

б) , тогда

 

 

Пример 6.

Найти композиции и функций, заданных формулами: а) ; б)

Решение.

а)

б)

 

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

1. Найти область определения функций: а) ;

б) ; в) ; г)

2. Представить сложные функции в виде композиции основных элементарных функций: а) ; б) .

 

Вариант 2.

1. Найти область определения функций: а) ;

б) в) г) .

2. Представить сложные функции в виде композиции основных элементарных функций: а) ; б) .

 

Вариант 3.

1. Найти область определения функций: а)

б) в) ;

г)

2. Представить сложные функции в виде композиции основных элементарных функций: а) б) .

 

Ответы.

Вариант 1: 1а) б) в) г)

Вариант 2: 1а) ; б) ; в) г) .

Вариант 3: 1а) б) в)

г) .