Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Экстремумы функции




Экстремумами функции называются ее максимумы и минимумы.

Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует такая двухсторонняя окрестность точки х0 , что для всякой точки х ¹ х0 этой окрестности выполняется неравенство .

При этом число называется максимумом функции . Аналогично, если для всякой точки х ¹ х0 из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство , то х0 называется точкой минимума, а число минимумом функции .

 

Понятие экстремума связано с наличием окрестности точки х0 из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних точках области определения.

 

Необходимое условие экстремума.

Если непрерывная функция имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна нулю или не существует.

 

Необходимое условие экстремум не является достаточным, т.е. точки, в которых или же не существует, не обязательно являются точками экстремумов функции.

 

Точки, в которых необходимое условие экстремумов выполняется, называются критическими, или подозрительными на экстремум.

Критические точки входят в область определения функции вместе с некоторой своей окрестностью, в которой функция является непрерывной и дифференцируемой (за исключением, быть может, самой критической точки, где может не существовать). Критические точки, в которых , называются еще стационарными, в них возможен только гладкий экстремум функции . Критические точки, в которых не существуют, являются подозрительными на острый экстремум функции . Наличие или отсутствие экстремума функции в ее критической точке проверяется чаще всего по следующим двум признакам:

 

 

Первый достаточный признак экстремума.

Если при переходе через критическую точку х0 (слева направо) производная изменяет свой знак, то в точке х0 есть экстремум причем, это максимум, если знак меняется с плюса на минус, и это минимум, если знак меняется с минуса на плюс. Если при переходе через критическую точку х0 производная не изменяет свой знак, то в точке х0 нет экстремума функции .

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть х0 – стационарная точка Первый достаточный признак экстремума функции , т.е. и существует вторая производная , непрерывная в точке х0.

Если >0, то х0 – точка минимума функции ;

если <0, то х0 – точка максимума функции ;

если =0, то вопрос об экстремуме в точке х0 остается открытым.

 

 

Пример 1.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Находим .

Так как функция и ее производная определены и непрерывны при хÎ(-¥;+¥), то критическими точками являются только точки, в которых , т.е. х1=0, х2,3=±2. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы знакопостоянства ее производной (следовательно, на интервалы монотонности функции):

 

 
 

На основании первого достаточного признака экстремумов делаем вывод, что данная функция имеет три точки экстремумов:

x = –2 и х = 2 – точки минимумов, х = 0 – точка максимума.

Вычисляя значение функции в точках экстремумов, находим экстремумы функции и строим схематически график:

ymin = y(–2) = –1;

ymax = y(0) = 3;

ymin = y(2) = –1;

В данной задаче все критические точки являются стационарными ,поэтому можно проверять в них и второе достаточное условие экстремумов. Для этого находим

Так как то х = –2 – точка минимума,

так как то х = 0 – точка максимума,

так как то х = 2 – точка минимума.

Ответ: ; ; .

 

Пример 2.

Найти экстремумы функции .

 

Решение.

Область определения функции хÎ(–¥;+¥).

Вычисляем производную .

Находим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремумов:

, если Û х = –1;

не существует, елси Û х = 0.

Получились две критические точки, причем, вторая из них (х = 0) является подозрительной на острый экстремум.

Проверяем достаточное условие монотонности функции и экстремумов (первое):

 
 

 

x = –1 – точка max;

х = 0 – точка min (острого);

;

.

 

 

Ответ: ; .

 

 

Пример 3.

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы .

Решение.

Область определения функции: х ¹ 1.

Находим производную

Необходимое условие экстремумов:

Þ Þ х1 = 0, х2 = 2 – это стационарные точки

не существует Þ (х–1)2 = 0 Þ х = 1 – не является критической точкой, так как не входит в область определения функции.

 

Достаточное условие монотонности и экстремумов:

 

 

– точка max, – точка min.

Вычисляем значения функции в точках экстремумов:

;

.

Строим схематический чертеж по результатам исследования:

 

Ответ:

возрастает при хÎ(-¥;0) и (2;+¥),

убывает при хÎ(0;1) и (1;2).

 

 

Пример 4.

Найти экстремумы функции .

 

Решение.

Область определения функции: х > 0.

Находим производную .

Необходимое условие экстремумов:

Þ Þ Þ ;

не существует – таких х нет на области определения функции.

Таким образом, – единственная точка, подозрительная на экстремум. Проверим в ней второе достаточное условие экстремума:

= Þ Þ – это точка min функции.

= = .

Ответ: = .

 

 

Дополнительные упражнения.

 

1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. ;
7. ; 8. ;
9. ; 10. ;
11. ; 12. .

 

 

Ответы.






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 681. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.101 сек.) русская версия | украинская версия