Параметры объемных резонаторов

На низких частотах в качестве колебательной системы обычно применяется контур, состоящий из сосредоточенных параметров: индуктивности , емкости и неизбежного сопротивления потерь . Такой контур, как известно из курса теоретической электротехники, характеризуется собственной частотой и добротностью .

С ростом частоты в таком контуре увеличиваются потери на излучение, а также тепловые потери вследствие сильного поверхностного эффекта в проводниках, поэтому в микроволновом диапазоне создание контуров с сосредоточенными параметрами и высокой добротностью сильно затруднено. В связи с этим в данном диапазоне применяют колебательные системы с распределенными параметрами. Они представляют собой диэлектрический объем, помещенный в другой диэлектрик или ограниченный замкнутой проводящей (металлической) оболочкой, и носят название объемных резонаторов.

К простейшим объемным резонаторам относятся короткозамкнутые отрезки металлических волноводов. В отличие от низкочастотного контура, резонатор имеет не одну, а бесконечное множество собственных частот.

Объемные резонаторы составляют неотъемлемую часть микроволновых приборов, устройств и установок – генераторов, усилителей, ускорителей заряженных частиц. Резонаторы применяются также в фильтрах, в измерительной аппаратуре (частотомеры и волномеры).

Электромагнитные колебания в резонаторе, не связанном с внешними цепями, в объеме которого отсутствуют источники поля (сторонние токи и заряды), называются собственными (или свободными). Электромагнитное поле собственных колебаний описывается системой однородных уравнений Максвелла, нетривиальные решения которых существуют при определенных значениях (и соответственно , где – скорость света) , называемых собственными частотами (собственными длинами волн). Каждой частоте соответствуют определенные функции , описывающие электромагнитное поле -го вида колебаний. Вид колебаний с наименьшей собственной частотой называется основным (или низшим). Виды колебаний с более высокими собственными частотами называют высшими. Для простейших типов резонаторов различают колебания поперечного (), электрического () и магнитного () видов. Векторы электромагнитного поля поперечного вида колебаний лежат в плоскости поперечного сечения резонаторов и не имеют продольных составляющих. Электрическими (магнитными) колебаниями называются колебания, у которых вектор (или ) наряду с поперечными имеет и продольную составляющую (или ). Следует заметить, что возможно существование колебаний гибридного -вида, у которых отличны от нуля все шесть составляющих векторов и .

Электромагнитное поле резонаторов, представляющих собой закороченные отрезки волноводов, может быть описано с помощью векторов Герца (см. раздел 2.1 описания лабораторной работы 2):

где функция , описывающая поле в поперечном сечении, для цилиндрического резонатора имеет вид,, а для коаксиального – –. Заметим, что в отличие от бегущих волн в волноводах, в объемных резонаторах могут существовать только стоячие волны. Таким образом, в случае цилиндрического резонатора, возбужденного, например, на колебаниях -вида, с учетом и имеем

где . Скобки означают, что значение возможно только для E -видов колебаний.

Для -вида колебаний коаксиального резонатора с учетом и получим

где .

В приведенных выражениях – радиус оболочки, – радиус внутреннего проводника, – длина резонатора. Каждое из целых чисел определяет число полуволн (число вариаций поля) по соответствующим координатам в пределах соответствующего геометрического размера резонатора, и, следовательно, конкретный вид колебаний. Например, для резонаторов с цилиндрической формой поверхностей – по координатам соответственно цилиндрической системы координат.

Распределение электромагнитного поля некоторых видов колебаний в простейших объемных резонаторах показано на рис. 4.1 (в цилиндрическом: а - , б - ; в коаксиальном: в – ). Заметим, что структура полей показанных видов колебаний в плоскости поперечного сечения этих резонаторов аналогична структурам полей соответствующих типов волн в плоскости поперечного сечения соответствующих волноводов: , – в круглом и – в коаксиальном.. На рисунке видно, что электромагнитные поля распределены во всем объеме резонаторов, что характеризует их как системы с распределенными параметрами. Для расчета характеристик таких резонаторов необходимо использовать весьма сложные методы теории поля (электродинамические методы). Лишь в некоторых случаях, когда у резонаторов линейные размеры много меньше собственной длины волны (квазистационарных, например, тороидальных – см. рис. 4.2), в их объеме можно выделить области преимущественной локализации (сосредоточения) электрических и магнитных полей. Для описания таких резонаторов можно использовать эквивалентные схемы, построенные на основе сосредоточенных -, - и -параметров, что позволяет использовать для расчета характеристик резонаторов приближенные и существенно более простые методы теории цепей с достаточной для практики точностью.

Объемный резонатор на каждом i -м виде колебаний характеризуют тремя основными параметрами:

– собственной частотой () или , (собственной длиной волны или ), где, как уже отмечалось, индексы определяют конкретный вид колебаний;

– собственной добротностью ;

– волновым сопротивлением , Ом.

Для резонаторов с вакуумным заполнением собственные частоты различных видов колебаний находятся по формуле

Волновое число вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов поперечного (критического) и продольного волновых чисел:

Значение критического волнового числа зависит от типа резонатора и вида колебания ( -, - или ):

– для цилиндрического резонатора

– для коаксиального резонатора

Значения корней цилиндрических функций (функций Бесселя первого и второго рода m-го порядка) для некоторых целочисленных переменных и приведены в табл. 2.1, 2.2.

Из выражений – следует, что у полого цилиндрического резонатора при соотношении размеров среди всего множества - и -видов колебаний основным является вид , то есть при значениях индексов , и тогда формула для расчета собственной частоты принимает вид:

Можно показать также, что в коаксиальном резонаторе с отношением размеров наименьшей собственной частотой обладает поперечный вид колебаний : .

Из последнего соотношения следует, что и, таким образом, , т. е. на длине резонатора укладывается половина длины волны колебаний вида . Такой коаксиальный резонатор называют полуволновым.

Таким образом, собственные частоты (собственные длины волн) различных видов колебаний объемных резонаторов зависят от структуры соответствующих полей, формы резонаторов и, в общем случае, от всех его размеров.

По определению собственная добротность резонатора на i -м виде колебаний прямо пропорциональна отношению энергии , запасенной в электрическом и магнитном полях резонатора, к энергии , рассеиваемой в резонаторе за период колебаний :

где – суммарная мощность потерь в стенках и в объеме резонатора.

Можно показать, что добротность медного цилиндрического резонатора с воздушным наполнением для вида колебаний определяется выражением

где – глубина проникновения, мм; – собственная частота, Гц; – объем резонатора, – площадь его внутренней поверхности. Глубина проникновения поля в металл в сантиметровом диапазоне длин волн составляет единицы микрометров. Если линейные размеры резонатора сравнимы с длиной волны колебаний, то собственная добротность цилиндрического резонатора для основного вида колебаний составляет величину порядка .

Волновое сопротивление определяется между двумя выбранными точками a и b внутренней поверхности резонатора и его величина пропорциональна отношению квадрата модуля напряжения между этими точками к запасенной на данной частоте энергии электромагнитного поля

Из формулы (4.7) следует, что значение зависит от выбора точек отсчета и пути интегрирования. В резонаторах микроволновых вакуумных приборов обычно определяется вдоль траектории электронного потока, пронизывающего резонатор, и характеризует «степень концентрации» электрического поля в зазоре резонатора – в области взаимодействия электронного потока с электрическим полем. На основном виде колебаний полого цилиндрического резонатора величина , рассчитанная вдоль его оси симметрии между двумя точками на торцевых стенках, находится из
выражения

.

Теоретический расчет параметров резонаторов с произвольной формой поверхностей весьма сложен и может быть выполнен только численными методами с помощью специальных программных средств и даже при современном развитии компьютерной техники требует значительных временных ресурсов. Однако, учитывая аналогию между физическими процессами, протекающими в объемном резонаторе вблизи одной из собственных частот и в низкочастотном колебательном контуре резонатор микроволнового диапазона можно представить в виде эквивалентной схемы с сосредоточенными параметрами. Значения параметров эквивалентной схемы зависит от выбора точек отсчета, относительно которых она строится и от распределения поля данного вида колебаний.

Как уже отмечалось, у резонаторов специальной формы, в частности, у тороидальных, у которых линейные размеры много меньше собственной длины волны, существует возможность выделить области локализации электрического и магнитного полей. Структура электрического и магнитного полей основного вида колебаний тороидального резонатора показана на рис. 4.2. У такого резонатора наблюдается четкая локализация электрического поля в центре – в зазоре его внутреннего проводника, а магнитного поля – на периферии резонатора. Поэтому эквивалентная схема тороидального резонатора, построенная относительно выбранных в его зазоре точек a и b (см. рис. 4.2), имеет вид параллельного колебательного контура, основные параметры которого вблизи собственного частоты i -го рассчитываются по измеренным параметрам резонатора::

Если известны , то из приведенных формул можно найти параметры эквивалентной схемы . Части объема, где концентрируется энергия электрического и магнитного полей, эквивалентны, соответственно, емкости и индуктивности контура. Роль сосредоточенной емкости играет плоский зазор в центре резонатора, роль сосредоточенной индуктивности – объем периферийной части резонатора. Поэтому параметры , R, а следовательно, и собственные параметры тороидального резонатора на основном виде колебаний могут быть приближенно рассчитаны методами электростатики и магнитостатики исходя из размеров резонатора.

Собственная длина волны:

Добротность:

Волновое сопротивление:

Размеры резонатора и длину волны в формулах, подставляют в сантиметрах, при этом волновое сопротивление получается в омах.

Если в объеме резонатора имеются источники поля (конвекционный ток) или он возбуждается от внешнего источника с помощью элемента связи, то в резонаторе возникают вынужденные колебания. Поле этих колебаний можно представить в виде суперпозиции электромагнитных полей собственных колебаний

где – потенциальные поля источников в объеме и поля отверстий в оболочке резонатора. Амплитудные коэффициенты и пропорциональны величине

где – частота источника возбуждения, – комплексная собственная частота.. Частота , при которой функция достигает максимума, называется резонансной, причем в свою очередь определяется по формуле

Из этой формулы следует, что резонансная частота тем ближе к собственной , чем выше . При различие между этими частотами составляет менее 0.1%. Амплитуда вынужденных колебаний A в резонаторе на частоте максимальна, а поле этих колебаний имеет структуру, близкую к структуре поля соответствующего собственного колебания с номером . Зависимость

,

где

– обобщенная расстройка, имеет вид типичной резонансной кривой (рис. 4.3, а) и может рассматриваться как частотная характеристика резонатора вблизи для небольших номеров . В широкой полосе частот с увеличением спектр сгущается и резонансные кривые различных видов колебаний перекрываются. Возможный вид характеристики в этом случае показан на рис. 4.3, б.

Таким образом, резонатор имеет множество резонансных частот, которые в случае малых потерь (больших ) приближенно равны частотам собственных колебаний. На практике наибольший интерес представляют виды колебаний с наименьшими резонансными частотами, достаточно удаленными друг от друга. Эти виды колебаний можно считать полностью разделенными и, следовательно, рассматривать независимо друг от друга.