Минимизация нормальных формМинимальной ДНФ (МДНФ) функции f (x 1,..., xn) называется ДНФ, реализующая функцию f и содержащая минимальное число символов переменных по сравнению со всеми другими видами ДНФ, реализующими функцию f. Если для всякого набора = (a 1,..., an) значений переменных условие g ()=1 влечёт , то функция g называется частью функции f (или функция f накрывает функцию g). Если при этом для некоторого набора = (c 1,..., cn) функция g ()=1, то говорят, что функция g накрывает единицу функции f на наборе (или что g накрывает конституенту единицы функции f). Заметим, что конституента единицы функции f есть часть функции f, накрывающая единственную единицу функции f. Элементарная конъюнкция K называется импликантом функции f, если для всякого набора =(a 1,..., an) из 0 и 1 условие K ()=1 влечет f ()=1. Импликант K функции f называется простым, если выражение, получающееся из него выбрасыванием любых множителей, уже не импликант функции f. Ясно, что всякий импликант функции f есть часть функции f. Теорема. Всякая функция реализуется дизъюнкцией всех своих простых имликант (ПИ). Доказательство. Пусть f (x 1,..., xn) есть функция, а A = K 1 v... v Km – дизъюнкция всех ее простых импликант. Пусть = (a 1,..., an) – произвольный набор длины n из 0 и 1. Если A () = 1, то найдется дизъюнктивное слагаемое Ki () = 1, что влечет f () = 1, ибо Ki есть импликант функции f. Если f () = 1, то в СДНФ для функции f найдется элементарная конъюнкция K, равная на этом наборе единице. Один из простых имликантов Kj функции f получается выбрасыванием некоторых множителей из K и потому Kj () = 1, а тогда A () = 1. Следовательно, f = A. Теорема доказана. Сокращенная ДНФ функции f есть дизъюнкция всех простых импликант функции f. Всякая функция f реализуется своей сокращенной ДНФ. Для всякой функции, не равной тождественно нулю, существует единственная сокращенная ДНФ. Пусть A и B – произвольные формулы. Из свойств булевых операций вытекают следующие обратимые правила преобразования ДНФ: 1) – полное склеивание (развертывание); 2) – неполное склеивание; 3) – обобщенное склеивание; 4) – поглощение; 5) – идемпотентность (удаление дублирующих членов). Теорема (Квайна). Если в СДНФ функции f провести все операции неполного склеивания, а затем все операции поглощения и удаления дублирующих членов, то в результате получится сокращения ДНФ функции f. Доказательство. Пусть имеем сокращенную ДНФ функции f. Проведем все операции развертывания к каждому простому импликанту для получения недостающих переменных в каждом дизъюнктивном слагаемом сокращенной ДНФ. В полученном выражении из нескольких одинаковых дизъюнктивных слагаемых оставим только по одному экземпляру. В результате получим СДНФ функции f. Теперь, исходя из полученной СДНФ, в обратном порядке проведем операции добавления одинаковых дизъюнктивных слагаемых (с помощью правил идемпотентности), неполного склеивания и поглощения. В итоге получим исходную сокращенную ДНФ.
|