Автокорреляция уровней временного ряда

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

(4.1)

где

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

(4.2)

где

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV

Построим поле корреляции:

Рис. 4.4.

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2

		–	–	–	–	–	–
			-328, 33	-288, 13	94601, 72	107800, 59	83018, 90
			169, 67	-292, 13	-49565, 70	28787, 91	85339, 94
			315, 67	205, 87	64986, 98	99647, 55	42382, 46
			-342, 33	351, 87	-120455, 66	117189, 83	123812, 50
			-228, 33	-306, 13	69898, 66	52134, 59	93715, 58
			292, 67	-192, 13	-56230, 69	85655, 73	36913, 94
			320, 67	328, 87	105458, 74	102829, 25	108155, 48
			-309, 33	356, 87	-110390, 60	95685, 05	127356, 20
			-344, 33	-273, 13	94046, 85	118563, 15	74600, 00
			292, 67	-308, 13	-90180, 41	85655, 73	94944, 10
			205, 67	328, 87	67638, 69	42300, 15	108155, 48
			-238, 33	241, 87	-57644, 88	56801, 19	58501, 10
			-245, 33	-202, 13	49588, 55	60186, 81	40856, 54
			220, 67	-209, 13	-46148, 72	48695, 25	43735, 36
			227, 67	256, 87	58481, 59	51833, 63	65982, 20
Сумма			9, 05	0, 05	74085, 16	1153766, 39	1187469, 73
Среднее значение	699, 33	663, 13	–	–	–	–	–

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

.

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3

		–	–	–	–	–	–
		–	–	–	–	–	–
			145, 57	-269, 79	-39273, 33	21190, 62	72786, 64
			291, 57	-273, 79	-79828, 95	85013, 06	74960, 96
			-366, 43	224, 21	-82157, 27	134270, 94	50270, 12
			-252, 43	370, 21	-93452, 11	63720, 90	137055, 44
			268, 57	-287, 79	-77291, 76	72129, 84	82823, 08
			296, 57	-173, 79	-51540, 90	87953, 76	30202, 96
			-333, 43	347, 21	-115770, 23	111175, 56	120554, 78
			-368, 43	375, 21	-138238, 62	135740, 66	140782, 54
			268, 57	-254, 79	-68428, 95	72129, 84	64917, 94
			181, 57	-289, 79	-52617, 17	32967, 66	83978, 24
			-262, 43	347, 21	-91118, 32	68869, 50	120554, 78
			-269, 43	260, 21	-70108, 38	72592, 52	67709, 24
			196, 57	-183, 79	-36127, 60	38639, 76	33778, 76
			203, 57	-190, 79	-38839, 12	41440, 74	36400, 82
Сумма			-0, 02	-0, 06	-1034792, 71	1037835, 43	1116776, 36
Среднее значение	723, 43	644, 79	–	–	–	–	–

Следовательно

.

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.

Таблица 4.4

Лаг	Коэффициент автокорреляции уровней
	0, 063294
	–0, 961183
	–0, 036290
	0, 964735
	0, 050594
	–0, 976516
	–0, 069444
	0, 964629
	0, 162064
	-0, 972918
	-0, 065323
	0, 985761

Коррелограмма:

Рис. 4.5.

Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.