Задание 5. 5.1 Прибор состоит из двух элементов. Вероятность выхода из строя за время t для первого элемента равна 0,02

5.1 Прибор состоит из двух элементов. Вероятность выхода из строя за время t для первого элемента равна 0,02. Вероятность выхода из строя за время t для второго элемента при работающем первом равна 0,01, при неработающем – 0,05. а) Найти вероятность того, что за время t выйдет из строя второй элемент. б) Известно, что второй элемент вышел из строя. Определить вероятность выхода из строя первого элемента.

5.2 Студент идёт на экзамен, зная только 25 билетов из 30. Выбранные билеты далее не используются. а) Студент планирует пойти вторым по счету. Найти вероятность сдачи экзамена. б) Студент пошел вторым и сдал экзамен, найти вероятность того, что первый студент вытащил билет, который наш студент не знал.

5.3 В сборочный цех поступают детали с трех поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5:3:2. Вероятность брака для первой линии составляет 0,01, для второй – 0,02 и для третьей линии – 0,03. а) Найти вероятность того, что наугад взятая деталь является бракованной. б) Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она сделана на третьей линии.

5.4 В телеграфном сигнале «точки» и «тире» появляются в пропорции 3:4. При передаче сигналы могут быть искажены: «точки» заменяются на «тире» с вероятностью 0,25, в то время как «тире» превращается в «точки» с вероятностью 0,3. а) Найти вероятность того, что сигнал будет передан верно. б) Переданный сигнал не был искажён. Определить вероятность того, что этот сигнал – «точка».

5.5 В цехе 14 установок с автоматическим контролем и 6 с ручным. Вероятность изготовления бракованной продукции для установок с автоматическим контролем составляет 0,001, с ручным контролем – 0,002. а) Найти вероятность того, что взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась бракованной? б) Взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась бракованной. Определить вероятность того, что продукция производилась на установке с ручным контролем.

5.6 Среди клиентов страховой компании 50 % первого класса риска, 30 % – второго и 20 % – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение клиентам первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,05. а) Найти вероятность того, что клиент компании получит денежное вознаграждение. б) Клиент за период страхования получил вознаграждение. Определить вероятность того, что он принадлежал к группе первого класса риска.

5.7 В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. а) Найти вероятность того, что приобретённое изделие окажется нестандартным. б) Приобретённое изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой.

5.8 На складе хранятся три водонагревательных прибора. Известно, что среди них есть бракованные, причём все возможные предположения о числе бракованных приборов являются равновероятными. а) Найти вероятность того, что наудачу извлечённый прибор является бракованным. б) Наудачу извлечённый прибор оказался бракованным. Определить вероятность того, что на складе было два бракованных прибора.

5.9 На конвейер поступают детали с двух станков. Производительность первого станка в 2 раза больше производительности второго. Вероятность возникновения брака на первом станке равна 0,01, на втором станке – 0,02. а) Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь является стандартной б) Взятая деталь оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она сделана на первом станке.

5.10 В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10%, третьего – 5%. В магазин поступило 30 телевизоров первого завода, 20 второго и 50 третьего. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный телевизор будет исправен. б) Выбранный телевизор оказался исправен. Определить вероятность того, что он сделан на первом заводе.

5.11 В бригаде 8 рабочих и 2 ученика. Вероятность изготовить бракованное изделие для рабочего составляет 0,05, для ученика – 0,2. Производительность рабочего в два раза выше, чем у ученика. Какова вероятность, что некоторое изделие, изготовленное бригадой, окажется бракованным?

5.12 В первой урне лежат 8 белых и 12 чёрных шаров, во второй урне – 4 белых и 15 чёрных шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, затем из второй урны извлекается шар. а) Найти вероятность того, что извлечённый шар белый. б) Из второй урны извлекли белый шар. Определить вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар.

5.13 В тире имеются 10 винтовок, из которых 7 являются пристрелянными. Вероятность попадания в мишень из пристрелянной винтовки равна 0,9, из непристрелянной – 0,2. Наугад берётся винтовка, и из неё делается выстрел. а) Найти вероятность поражения мишени. б) Выстрелом из наугад выбранной винтовки мишень была поражена. Определить вероятность того, что выстрел сделан из непристрелянной винтовки.

5.14 Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,5. Мишень была поражена один раз. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

5.15 Студент купил два лотерейных билета, один из которых он подарил другу. Считая все возможные предположения о числе выигрышных билетов из двух равновероятными, найти вероятность того, что другу студент подарил выигрышный билет.

5.16 Вся продукция цеха проверяется двумя контролёрами, причем первый контролёр проверяет 60 % изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. а) Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие, маркированное как стандартное, окажется нестандартным. б) Наудачу взятое изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролёром.

5.17 На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 – только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью 0,7, если только помеха, то – с вероятностью 0,3. а) Найти вероятность того, что устройство зарегистрирует наличие сигнала. б) Известно, что устройство зарегистрировало наличие сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

5.18 Стрелочный перевод состоит из двух частей: электрической и механической. Безотказная работа каждой части необходима для работы стрелочного перевода. Вероятность выхода из строя в течение месяца электрической части равна 0,2, механической – 0,3. В течение месяца перевод вышел из строя. Найти вероятность того, что отказала механическая часть.

5.19 Иногородний студент может уехать домой на поезде или на автобусе, причём автобус он выбирает в 20 % случаев. Вероятности того, что к моменту обращения студента в кассу билеты будут распроданы, равны 0,3 для железнодорожного вокзала и 0,5 для автобусного. а) Найти вероятность того, что студент уедет домой. б) Студент уехал домой. Определить вероятность того, что он ехал на поезде.

5.20 На складе хранятся три прибора. Известно, что среди них могут быть бракованные, причём все возможные предположения о числе бракованных приборов являются равновероятными. а) Найти вероятность того, что наудачу извлечённый прибор является бракованным; б) Наудачу извлечённый прибор оказался бракованным. Определить вероятность того, что на складе было два бракованных прибора.

5.21 Стрелочный перевод состоит из двух частей: электрической и механической. Безотказная работа каждой части необходима для работы стрелочного перевода. Вероятность выхода из строя в течение месяца электрической части равна 0,1, механической – 0,3. В течение месяца перевод вышел из строя. Найти вероятность того, что отказала электрическая часть.

5.22 При сдаче экзамена студент выучил 70 % билетов, а для оставшихся сделал шпаргалки. Если ему попадётся билет, который он учил, то вероятность сдать экзамен равна 0,99. Если ему попадётся билет, который он не учил, то вероятность сдать экзамен равна 0,5. а) Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен. б) Студент сдал экзамен. Определить вероятность того, что он списал.

5.23 Прибор может работать в трёх режимах: нормальном, форсированном и недогруженном. Нормальный режим наблюдается в 70 % случаев работы прибора, форсированный – в 20 % и недогруженный – в 10 %. Надёжность прибора (вероятность безотказной работы в течение времени t) для нормального режима равна 0,9, для форсированного – 0,4, для недогруженного – 0,95. а) Найти полную (с учетом случайности условий) надёжность прибора. б) Прибор проработал безотказно в течение времени t. Определить вероятность того, что он работал в нормальном режиме.

5.24 В продажу поступают телефоны трех производителей. Продукция первого производителя содержит 10% телефонов со скрытым дефектом, второго – 15%, третьего – 8%. В магазин поступило 40 телефонов от первого производителя, 30 от второго, 60 от третьего. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный телефон будет исправен. б) Выбранный телефон оказался исправен. Определить вероятность того, что он поступил от второго производителя.

5.25 В тире имеются четыре ружья, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,9, 0,8, 0,75, 0,7. а) Найти вероятность поражения мишени выстрелом из наугад выбранного ружья. б) Выстрелом из наугад выбранного ружья мишень поражена. Определить вероятность того, что это было ружье, вероятность попадания из которого равна 0,7.

5.26 В данный район изделия поставляются двумя фирмами в соотношении 2:3. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 80 %, второй – 90 %. а) Найти вероятность того, что приобретённое изделие окажется стандартным. б) Приобретённое изделие оказалось стандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено первой фирмой.

5.27 Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,6. Мишень была поражена один раз. Найти вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.

5.28 В сборочный цех поступают детали с двух поточных линий. Производительности этих линий относятся как 5:4. Вероятность брака для первой линии составляет 0,02, для второй – 0,04. а) Найти вероятность того, что наугад взятая деталь является бракованной. б) Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она сделана на первой линии.

5.29 В тире имеются 10 винтовок, из которых 7 являются пристрелянными. Вероятность попадания в мишень из пристрелянной винтовки равна 0,8, из непристрелянной – 0,1. Наугад берётся винтовка, и из неё делается выстрел. а) Найти вероятность промаха. б) Выстрелом из наугад выбранной винтовки мишень была поражена. Определить вероятность того, что выстрел сделан из пристрелянной винтовки.

5.30 Студент купил три лотерейных билета, два из которых подарил друзьям. Считая все возможные предположения о числе выигрышных билетов из трех равновероятными, найти вероятность того, что себе он оставил выигрышный билет.