Метод узловых потенциалов в матричной формеНа основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:
где Матрицы Z и Y взаимно обратны. Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому
получим:
Выражение (16) перепишем, как:
Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:
Тогда получаем матричное уравнение вида:
Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить
то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:
где В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:
то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат. Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.
Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5. Узловая матрица (примем
Диагональная матрица проводимостей ветвей:
где Матрица узловых проводимостей
Матрицы токов и ЭДС источников
..Следовательно, матрица узловых токов будет иметь вид:
.Таким образом, окончательно получаем: где Анализ результатов показывает, что полученные уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу узловых потенциалов. Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ: .
Ответ: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Лекция N 7. Преобразование энергии в электрической цепи. Мгновенная, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока. |
,
- диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.
,
..
.
.
.
,
- матрица узловых проводимостей; 
- матрица узловых токов.
)
,
.
.
,
; 
; 
; 
; 
.
.
Передача энергии w по электрической цепи (например, по линии электропередачи), рассеяние энергии, то есть переход электромагнитной энергии в тепловую, а также и другие виды преобразования энергии характеризуются интенсивностью, с которой протекает процесс, то есть тем, сколько энергии передается по линии в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью р. Сказанному соответствует математическое определение:
Выражение для мгновенного значения мощности в электрических цепях имеет вид:
Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за
Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания. Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью Принимая во внимание, что
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому
|
.
.
, получим:
.
.
.
, из (3) получим:
.
, т.е. на входе пассивного двухполюсника 
. Случай Р=0, 
теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.
