Уравнение прямой в отрезках на осях

(рис. 2).

 

 

Рис. 2

Примеры

1. Найти угол между двумя прямыми

Из условия следует, что , тогда

, .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А

параллельно прямой .

Угловой коэффициент данной прямой , а из условия параллельности угловой коэффициент искомой прямой .Следовательно, уравнение параллельной прямой имеет вид Отсюда .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А

перпендикулярно прямой .

Угловой коэффициент данной прямой , а из условия перпендикулярности угловой коэффициент искомой прямой .

Следовательно, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид

Отсюда .

4. Дана точка М(1; 1). Провести через эту точку прямую под углом к прямой .

Воспользуемся уравнением пучка прямых, проходящих через точку (1,1),

. Теперь найдем угловой коэффициент искомой прямой, воспользовавшись формулой:

5.Дан треугольник с вершинами Найти уравнение высоты .

Найдем уравнение стороны как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и .

, отсюда .

Прямые и перпендикулярны, следовательно, угловой коэффициент прямой равен .

Теперь запишем уравнение прямой как уравнение прямой, проходящей через точку , с угловым коэффициентом

, отсюда

6. Дан треугольник с вершинами Найти уравнение медианы .

Точка D лежит на середине отрезка ВС, тогда ее координаты равны полусумме, соответствующих координат, точек В и С, т.е. .

Напишем уравнение прямой, проходящей через две точки A и B,

.Отсюда получаем искомое уравнение .

7. Прямая отсекает на оси ОХ отрезок длинной 5, а на оси ОY отрезок длинной 4.

Найти уравнение этой прямой.

Используя уравнение в отрезках на осях, получим . Отсюда получаем

.

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первого порядка вида

есть уравнение прямой, и, наоборот, любую прямую линию можно задать уравнением данного вида.

Уравнение называется общим уравнением прямой. Если , то из общего уравнения можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом , т.е. .

Пусть заданы две прямые и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы: .

Отсюда следует, что равенство будет условием параллельности, а равенство будет условием перпендикулярности двух прямых.

Примеры

1. Определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Полагаем , подставляя в уравнение прямой, получаем .

Точка пересечения прямой с координатными осями имеет координаты .

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Перейдем от общего уравнения к уравнению прямой с угловым коэффициентом

. Угловой коэффициент этой прямой . Из условия перпендикулярности следует, что угловой коэффициент искомой прямой .

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом, и получим . Отсюда .

4. Найти угол между двумя прямыми и .

Угол между этими прямыми можно определить из формулы: .

Здесь , тогда , отсюда .

 

5. Дан ромб АВСD уравнения двух сторон ромба ВС и AD, а также диагонали BD (рис. 3). Найти уравнения диагонали АС.

Найдем координаты точки В:

Рис. 3

Найдем координаты точки D:

; .

Координаты центра - (B+D)/2: .

Найдем уравнение диагонали АС:

6. Найти расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и .

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки . Отсюда получаем . Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно полученной прямой. Из условия перпендикулярности получим ее угловой коэффициент . Тогда уравнение перпендикуляра имеет вид . Отсюда . Найдем проекцию точки на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим , т.е. проекция точки , которую обозначим , имеет координаты . Найдем расстояние , что и будет искомым расстоянием.

7. Найти точку , симметричную точке относительно прямой .

Угловой коэффициент заданной прямой , тогда угловой коэффициент перпендикуляра к ней Теперь можно написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно прямой , или . Найдем проекцию точки , которую обозначим , на прямую . Для чего решим систему уравнений и получим координаты точки ,

Обозначим точку симметричную точке относительно прямой . Ее координаты найдем из соотношений . Получим , это и будут координаты симметричной точки.

 

Прямая линия в пространстве

Дано (рис. 4).

.