Решение. Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида

= 0,

где - непрерывная функция переменной . Требуется найти корень этого уравнения. Представить решение этого уравнения в виде конечной формулы оказывается невозможным, поэтому мы откажемся от поиска точного значения корней и займемся их приближенным вычислением с заданной точностью.

Основные этапы решения. Решение задачи отыскания корней осуществляется в два этапа. Первый этап называется этапом отделения (локализации) корней, второй – этап итерационного уточнения корней.

Известно, что если функция непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого промежутка имеется хотя бы один корень уравнения.

Геометрически это означает, что график непрерывной функции, расположенной по разные стороны оси , пересекает эту ось, по меньшей мере в одной точке.

Отрезок , содержащий только один корень уравнения , называется отрезком локализации корня. Цель этапа локализации считается достигнутой, если для каждых подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации.

К сожалению, создать универсальный метод локализации не представляется возможным. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод. Часто применяется построение таблиц значений функции вида и, при этом о наличии корня на отрезке , судят по перемене знака функции на концах отрезка.

Пример 1. Локализуем корни уравнения

.

Для этого преобразуем уравнение к виду и построим графики функций и .

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения.

 

Рис. 1

Из рис.1 видно, что уравнение имеет два корня, расположенные на отрезках и .

Пример 2. Локализуем корни уравнения

.

Для этого составим таблицу значений функции на отрезке с шагом

x	-2	-1.6	-1.2	-0.8	-0.4
y	-6.2	-1.592	1.128	2.344	2.44

 

	0.4	0.8	1.2	1.6	2.0
1.8	0.808	-0.152	-0.696

 

Из таблицы видно, что функция меняет знак на концах отрезков , , . Поэтому каждый из этих отрезков содержит хотя бы один корень. Поскольку – многочлен третьей степени, то он не может иметь больше трех корней. Поэтому задача локализации корней решена.

После локализации корней производится итерационное уточнение каждого корня одним из существующих методов. Мы рассмотрим метод касательных и метод итераций.

1) Метод касательных. Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения , то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности .

Достаточные условия сходимости этого метода содержатся в следующей теореме.

Теорема. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на отрезке , причем , а производные сохраняют знак на отрезке . Тогда, исходя из начального приближения , удовлет-воряющего неравенству , можно построить последовательность сходящуюся к единственному на решению уравнения .

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке кривой (рис. 2).

Выберем, например, , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . В качестве первого приближения корня возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Через точку снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение корня и т. д. (рис. 2).

 

Рис. 2

 

Обозначим .Найдем производную данной функции .

Составим таблицу знаков функции:

		-1
	-	-	+	+

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Уточним этот корень методом касательных. Так как , и , то за начальное приближение принимаем .

Для вычислений применяем формулу Ньютона

 

Для вычислений используем таблицу 3:

 

Таблица 3

	-1 -0.949 -0.9464	-0.2 -0.0093 -0.0004	3.9 3.5814 3.5657	-0.051 -0.0026 -0.00001

 

Ответ: .

 

2) Метод итераций. Отделяем корни аналитически. Находим .

Составим таблицу знаков функции:

		-1
	-	-	+	+

 

Уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке . Для уточнения его методом итераций приведем уравнение к виду . При этом должно выполняться условие для . Функцию будем искать из соотношения , считая, что , где число имеет тот же знак, что и в промежутке . Находим .

Так как , то можно взять . Тогда

Пусть , тогда . Вычисления располагаем в таблице 4.

 

Таблица 4

	-0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 0.3796	0.09 0.1364 0.1433 0.1440	-0.027 -0.0504 -0.0542 -0.0546	-0.3 -0.3693 -0.3785 -0.3795 -0.3796

Ответ: .

Задача №5

Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками.

2)Вычислить интеграл по формуле Симпсона при ; оценить погрешность результата, составив таблицу конечных разностей.

1) ; 2) .

Решение. Точное значение определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница через первообразную :

.

Если же первообразная неизвестна или функция задана таблицей или графиком, то применяются методы приближенного интегрирования. Формулы для приближенного интегрирования получаются при замене площади криволинейной трапеции на сумму площадей простых геометрических фигур, площадь которых легко вычисляется.

Разделим интервал на равных частей длиной . При этом . Обозначим через значение функции в точках .

Метод трапеций. Если площадь каждой полоски, на которые разбита криволинейная трапеция точками , считать приближенно равной площади соответствующей трапеции, то для вычисления интеграла получаем формулу трапеций (рис. 3)

 

Рис. 3

 

Метод Симпсона. Метод Симпсона применим при разбиении интервала на четное число частей . Каждая пара полосок ограничивается сверху параболой, проходящей через три точки. Затем вычисляется площадь каждой пары полосок, ограниченной сверху параболой. Сумма площадей всех пар полосок является приближенным значением определенного интеграла (рис. 4).

 

Рис. 4

1) Для достижения заданной степени точности необходимо определить значение так, чтобы

(*)

Здесь ; ; , где .

Находим , ;

.

 

Положим , тогда неравенство (*) примет вид , откуда , т.е. ; возьмем .

Вычисление интеграла проводим по формуле

,

где ; ; .

Все вычисления приведены в таблице 5:

Таблица 5

	0.7 0.73 0.76 0.79 0.82 0.85 0.88 0.91 0.94 0.97 1.00 1.03	0.88386 0.85572 0.82898 0.80366 0.77973 0.75700 0.73546 0.71501 0.69551 0.67700 0.65937 0.64259

Продолжение табл. 5

1.06 1.09 1.12 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30

0.62657 0.61140 0.59669 0.58272 0.56935 0.55658 0.54431 0.53253 0.52129

Таким образом,

.

2) Согласно условию , поэтому .

Расчетная формула имеет вид

где , .

Вычисления значения функции запишем в таблице 6:

 

Таблица 6

	1.2 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45	0.1211 0.1520 0.1782 0.2000 0.2176 0.2312
	1.50	0.2410

Продолжение табл. 6

1.55 1.60

0.2473 0.2503

Следовательно,

.

Задача №6

Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию на отрезке с шагом , методом Эйлера

, , .

Решение. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной

(1)

состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию

. (2)

Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.

Пользуясь тем, что в точке известно и значение решения и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции в точке :

. (3)

При достаточно малом значении ордината

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3) значения , по непрерывности должна мало отличаться от ординаты решения задачи (1)-(2). Следовательно, точка пересечения касательной с прямой может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

,

которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда , получим приближение значения значением

и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши (1) - (2)

(4)

Геометрический смысл метода Эйлера заключается в том, что интегральная кривая на каждом отрезке , , …, заменяется отрезком касательной к интегральной кривой, проходящей через точки , а интегральная кривая заменяется ломаной, проходящей через точки , , …, . Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

В нашем случае

Находим последовательные значения аргумента: , , , , . Вычислим соответствующие значения искомой функции:

 

Результаты вычислений представим в таблице 7.

 

Таблица 7

		0.1	0.2	0.3	0.4
		1.1	1.22	1.362	1.5282

 

Задача №7

Задание. Найтичисленноерешение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг .

Решение. Метод конечных разностей.

Разбив отрезок на части с шагом , получим четыре узловые точки с абсциссами . Две точки и являются граничными, а две другие – внутренними. Данное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением

 

().

 

Для краевых условий составим конечно-разностное уравнение в граничных точках

Данная задача сводится к решению системы уравнений

Выполнив преобразования, имеем

Подставив значение в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему

Решая эту систему уравнений, получим