Задачи. 1. К двум материальным точкам массы 2 и 8 кг приложены одинаковые силы

1. К двум материальным точкам массы 2 и 8 кг приложены одинаковые силы. Сравните между собой значения ускорений этих точек.

 

 

2. Определите числовое значение и направление ускорения точки А массой 2 кг под действием приложенной к ней системы сил, если , , , .

 

 

Тема 1.13. Основы кинетостатики.

1.13.1. Принцип Аламбера.

1.13.2. Понятие силы инерции.

1.13.1. Принцип, который обычно связывают с именем выдаю­щегося французского ученого Ж. Аламбера (1717—1783), лежит в основе важного метода динамики, позволяющего задачи динамики формально сводить к задачам статики.

Допустим, что к несвобод­ной материальной точке М массы т приложена некоторая активная сила . Освобождая мысленно точку от связей, заменим их действие на точку силой реакции этих связей. Тогда точку М можно считать свободной, но находящейся под действием силы , являющейся равнодействующей сил и (рис. 1.13.1.). По основному уравнению динамики точки . Условно приложим к точке М еще и вектор .

Вектор , равный произведению массы точки на ее уско­рение и направленный в сторону, противоположную уско­рению точки, называется силой инерции этой точки. Геометрическая сумма сил

и совокупность сил представляет, следовательно, уравновешенную систему.

Симла инерции материальной точки условно прила­гается к самой материальной точке, и потому получаю­щееся при этом равновесие является не действительным, а лишь условным, воображаемым равновесием.

Однако такое условное присоединение силы инерции точки к числу сил, в действительности к ней приложенных, позволяет применить к решению задач динамики хорошо известные приемы статики и лежит в основе метода, назы­ваемого методом кинетостатики.

Идея метода кинетостатики может быть сформулиро­вана для материальной точки следующим образом: во всякий момент движения материальной точки приложен­ные к ней активные силы, силы реакций наложенных на нее связей и сила инерции данной точки (условно прило­женная к ней самой) взаимно уравновешиваются.

Метод кинетостатики вследствие своей простоты и наглядности широко применяется в технической практике для решения задач динамики. Особенно удобен этот метод для опреде­ления так называемых динамических реакций связей, т. е. реакций, возникающих в связях при движении системы. Этим методом можно пользоваться и для определения ускорений тел, входящих в состав системы.

Наряду с этим заметим, что все без исключения задачи динамики можно решать и без применения метода кине­тостатики, не пользуясь вовсе понятием сил инерции.

 

1.13.2. В природе не бывает одностороннего действия сил. Если материальная точка массы т в результате взаимо­действия с другими, окружающими ее телами, приобрела некоторое ускорение , то к этим телам, согласно третьему основному закону механики, приложены со стороны точки силы противодействия. Геометрическая сумма этих сил, приложенных, вообще говоря, к различным телам, фор­мально равна , т.е. равна силе инерции точки. Толь­ко формально, так как сложение сил приложенных к раз­личным телам физического смысла не имеет.

Реально существуют лишь составляющие этой силы, приложенные к тем телам, которые являются источником активных сил, действующих на движущуюся с ускорением материальную точку, и к связям, наложенным на точку. О силе инерции можно говорить как о реаль­ной силе лишь в том случае, когда на точку действует только одно тело.

Рассмотрим такой пример. Рабочий катит перед собой по рельсам вагонетку, сообщая ей ускорение . Для про­стоты считаем, что вагонетка движется по горизонтально­му прямолинейному пути и никаких сопротивлений своему движению не встречает. Следовательно, источником силы, сообщающей вагонетке ускорение , является только ра­бочий. По основному закону динамики для сообщения вагонетке этого ускорения рабочий должен приложить к ней силу , где т —масса вагонетки. Всякое действие одного тела на другое всегда сопровождается равным и противоположно направленным действием вто­рого тела на первое. Следовательно, рабочий будет встре­чать со стороны вагонетки силу противодействия , равную по модулю силе давления рабочего на вагонетку и направленную в противоположную сторону, т. е. в сторону, противопо­ложную ускорению. Очевид­но, что сила вагонетки при­ложена не к ней самой, а к руке рабочего (рис. 1.13.2.).

Необходимо всегда иметь в виду, что, применяя метод кинетостатики, мы лишь условно прилагаем силу инерции материальной точки к самой точке.

В общем случае движения точки по, криволинейной траектории ускорение точки, как мы знаем, удобно раз­лагать на две составляющие: касательное (тангенсальное) ускорение ()направленное по касательной к траектории движения, и нормальное ускорение (, - радиус кривизны траектории в данном положении материальной точки), направленное по нормали к центру кривизны траектории. Положим, что к свободной материальной точке М массы т, движущейся со скоро­стью , приложена сила , направление которой обра­зует с направлением скорости некоторый угол (рис. 1.13.3.). Точка в этом случае будет двигаться по криволинейному пути с ускорением , направленным одинаково с силой .

Очевидно, что при криволинейном движении точки приложенную к ней силу можно разложить на две со­ставляющие: касательную силу , изменяющую мо­дуль скорости точки, и нор­мальную силу , изме­няющую направление скоро­сти точки.

При криволинейном движении точки её силу инерции также можно разложить на две составляющие: касательную силу инерции , напрвленную противоположно касательному ускорению точки, и нормальную силу инерции , направленную противоположно нормальному ускорению точки.

При несвободном криволинейном движении точки, действующей на неё нормальной силой будет реакция связи, заставляющая точку отклоняться от прямолинейного пути и, следовательно, сообщающая ей соответствующее нор­мальное ускорение. Силой же, действующей на связь, будет нормальная сила инерции данной точки.

Положим, что в криволинейном желобе лежит шар (рис. 1.13.4.). Если сообщить ему толчок в направлении оси желоба, то возникнут одновременно две силы: нормаль­ная реакция стенок желоба на шар и нормальная сила инерции —давление шара на стенки жалоба, на­правленная по той же нормали от центра. Если желоб взять резиновым, то действие нор­мальной силы инерции наглядно проявится выпучиванием при дви­жении шара наружной поверхно­сти желоба.

Подвешенное к нити тело (рис. 1.13.5.) натягивает ее при покое с си­лой, равной по модулю силе тяже- сти тела. Будучи же приведено в колебание, тело натягивает нить в момент ее перехода через вертикальное положение с си­лой (). При быстром вращении центробежная сила инерции тела, приложенная к нити, осуществляющей связь, заста­вляющую тело совершать криволинейное движение, может настолько увеличить натяжение нити, что произойдет ее разрыв. В момент разрыва нити исчезнет ре­акция связи (сила ), приложенная к телу, так как исчезает связь, делавшая его дви­жение несвободным; в тот же самый мо­мент исчезнет и нормальная сила инерции, и тело будет перемещаться по касательной к окружности в той ее точке, в которой оно на­ходилось в момент разрыва нити.

 

Аналогичным действием нормальной силы инерции объясняется и происходящий иногда разрыв маховиков при их очень бы­стром вращении. Если вся масса вращаю­щегося тела распределена симметрично относительно его оси вращения, то нормальные силы инерции, развиваемые отдельными его частями, сказываются только в возни­кновении динамических напряжений (внутренних усилий) в материале тела. Эти динамические напряжения при больших скоростях могут достигать весьма больших зна­чений, и с ними безусловно нужно считаться. Но если масса вращающегося тела распределена несимметрично относительно оси вращения, то нормальные силы инерции отдельных частиц тела оказывают также еще и добавоч­ное давление на подшипники, увеличивая трение в под­шипниках и их износ. Вследствие вращения тела равно­действующая неуравновешенных сил инерции все время изменяет свое направление, а это ведет к нежелательной вибрации тела. Вопрос об уравновешивании сил инерции имеет большое значение в современном машиностроении и рассматривается в теории механизмов и машин. При проектировании каждой новой машины необходимо учиты­вать силы инерции, которые могут возникнуть в ней при различных условиях работы.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется силой инерции точки?

2. Сформулируйте принцип Аламбера.