Определение масс и моментов инерции звеньев

 

Центры тяжести стержневых звеньев располагают на осях вращения этих звеньев или в центрах масс фигур. Массы и моменты инерции определяют по эмпирическим формулам.

Массы звеньев, имеющих линейные размеры, определяют по формуле

, (3.11)

 

где – масса -го звена, кг; – удельный вес погонного метра звена, Н/м; – ускорение свободного падения, – длина -го звена, м; – удельная масса, кг/м.

Если удельный вес не задан в условии, то для шатуна, для коромысел, для кулис и кривошипов.

Удельные массы взять равными .

Масса поршней в двигателях и компрессорах

 

,

 

где – масса шатуна.

Масса камня кулисы

,

 

где – масса кулисы.

Масса долбяков, резцовых призм поперечно-строгальных станков, главных ползунов прессов

,

 

где – ход ползуна, (расстояние между двумя крайними положениями ползуна).

Масса зубчатых колес

,

 

где – радиус делительной окружности, – масса зубчатого колеса.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 3.8), определяется по формуле

 

. (3.12)

 

Момент инерции этого же стержня относительно оси, проходящей через середину стержня (рис. 3.9), определяется по формуле

 

. (3.13)

 

Этот момент инерции называют центральным, так как он является моментом инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Рассмотрим звено − «уголок» (рис. 3.10), состоящее из двух жестко соединенных частей и .

Рис. 3.8

Рис. 3.9

Рис. 3.10

 

Рассмотрим звено − «уголок» (рис. 3.10), состоящее из двух жестко соединенных частей и . В этом случае следует:

а) определить момент инерции каждой отдельной части относительно собственного центра масс:

 

, ,

 

где и – массы отдельных частей; и – длины стержней BC и AC;

б) найти положение общего центра масс, используя отношение

 

; (3.14)

 

в) определить момент инерции всего звена относительно центра масс по формуле

. (3.15)

 

Один из авторов данного пособия (О. В. Конищева) предлагает следующий вывод для определения момента инерции «уголка».

Заменим отношение (3.14) другим:

 

,

 

где – отрезок, соединяющий середины отрезков AC и BC, поэтому в треугольнике ABC является средней линией, а значит (c = AB).

Отсюда

 

, , .

 

Обозначим , тогда выражение (3.15) приобретет вид

 

Таким образом, зная геометрические параметры «уголка» можно определить его момент инерции:

 

. (3.16)

 

Рассмотрим треугольное звено. Здесь могут быть два случая. Первый случай – треугольник представляет собой стержневую конструкцию, приведенную на рис. 3.11, тогда её центр тяжести расположен в центре окружности, вписанной в треугольник, соединяющий середины сторон .

 

Рис. 3.11

 

На рис. 3.11, точка S – центр вписанной в окружности, или центр тяжести, – середины сторон. Обозначим длины сторон Известно, что момент инерции этого звена определяется по формуле

 

. (3.17)

 

Один из авторов пособия (О.В. Конищева) предлагает следующий вывод для определения момента инерции такого треугольного звена.

Рассмотрим . Он подобен , значит, углы этих треугольников соответственно равны . Выразим длины сторон:

(3.18)

 

Решим эту систему уравнений. Получим

 

, , .

 

Выразим квадраты этих отрезков, используя тригонометрические формулы:

 

 

аналогично

, .

 

Подставим полученные формулы в выражение (3.17), выразив массы через удельную массу :

 

 

Таким образом, момент инерции треугольного звена, представляющего собой стержневую конструкцию, определим по формуле

 

. (3.19)

 

Во втором случае, когда треугольное звено представляет собой пластину, его центр тяжести лежит на пересечении медиан (рис. 3.12). Определим момент инерции «стержневого» треугольника относительно точки, лежащей на пересечении медиан.

Рис. 3.13

 

В этом случае момент инерции треугольного звена определяется по формуле, аналогичной формуле (3.17):

 

. (3.20)

 

Один из авторов учебного пособия (О.В. Конищева) предлагает следующий вывод для определения этого момента инерции.

Выразим отрезки:

 

, , .

 

Медианы определяются следующим образом:

 

, , .

 

Подставим эти выражения в (3.20):

 

 

где – масса треугольного звена.

Таким образом, момент инерции стержневого треугольного звена относительно точки, лежащей на пересечении медиан, определяется по формуле:

. (3.21)

 

Расхождение результатов, полученных по формулам (3.19) и (3.21) составляет 0,75 %, что незначительно. Поэтому, с целью упрощения расчетов стержневого треугольного звена, его центр масс возьмем на пересечении медиан, как для пластины, и момент инерции будем определять по формуле (3.21).

 

 

3.6. Силовое исследование шарнирного
четырехзвенного механизма с качающейся кулисой
графическим методом

Построить план механизма в заданном положении, план скоростей и план ускорений для этого положения (эти построения рассмотрены в параграфе 2.4.2 − 2.4.3).