Задача Купера. Куперовские пары.

Покажем, что парное взаимодействие электронов, которое имеет характер притяжения, приводит к образованию их связанного состояния. Это не так очевидно, поскольку речь идет о трехмерной системе. Как известно из квантовой механики, связанное состояние частицы на притягивательном потенциале имеет место при любом, даже сколь угодно слабом потенциале, только в одномерных и двумерных системах. В трехмерной ситуации связанное состояние образуется только в случае достаточно сильного потенциала.

Рассмотрим уравнение Шредингера для двух взаимодействующих электронов, находящихся над поверхностью Ферми:

здесь в операторе ε_F кинетической энергии мы отсчитываем энергию от уровня Ферми:

,

,

Волновая функция пары невзаимодействующих электронов с противоположными импульсами имеет вид произведения двух плоских волн:

где

Электронам, находящимся в возбужденном состоянии над поверхностью Ферми, соответствует условие . Ищем решение для волновой функции взаимодействующих электронов в виде произвольной суперпозиции таких состояний:

Перегруппируем члены в уравнении Шредингера

Найдем среднее значение энергии:

.

Подставив в это соотношение выражение для волновой функции в виде суперпозиции по состояниям плоских волн, получим:

,

где матричный элемент энергии взаимодействия описывает рассеяние из состояния в состояние :

Полученное интегральное уравнение в общем случае требует численного решения. Однако, если сделать некоторые допущения о виде ядра (матричного элемента взаимодействия), то можно получить аналитическое решение. Рассмотрим сепарабельное взаимодействие (допускающее разделение на множители) вида

,

.

Умножим обе части на и просуммируем по k. Сокращая обе части на (при условии ), получим следующее уравнение для определения разрешенных значений энергии:

.

Здесь дискретная сумма k по выполняется по дискретным значениям квазиимпульса, определяемым граничными условиями Борна-Кармана (m_1,2,3 –целые):

.

Соответственно, ε_k также принимает дискретный ряд значений. Решение этого уравнения удобно проанализировать графически. График правой части имеет вид, представленный на рисунке. Особенности графика соответствуют нулям знаменателя. Как следует из графика при λ>0 все решения расположены в области E>0 и описывают незначительный сдвиг уровней энергии из-за рассеяния. Вместе с тем при λ<0, т.е. при наличии межэлектронного притяжения, появляется дополнительное решение при E<0,

отвечающее связанному состоянию двух электронов. Это решение существует при любом сколь угодно слабом межэлектронном притяжении. Два электрона в связанном состоянии образуют куперовскую пару.

Более точно определить энергию связанного состояния можно, решив уравнение на собственные значения. Выше мы установили, что межэлектронное притяжение действует в узком энергетическом слое вблизи поверхности Ферми. Пренебрегая угловой зависимостью матричного элемента взаимодействия, выберем определяющие его сомножители в следующем виде:

Перейдем в уравнении на собственные значения стандартным образом от суммирования к интегрированию в пределе бесконечного объема системы

где мы учли, что вблизи поверхности Ферми

и . Пусть межэлектронное взаимодействие отвечает притяжению:

.

Введем эффективную константу взаимодействия

где - эффективная плотность состояний на поверхности Ферми. Выполнив интегрирование, получим:

,

В результате находим для энергии связанного состояния

При стремлении эффективной константы взаимодействия к нулю энергия связанного состоянии экспоненциально по обратному параметру взаимодействия стремится к нулю. Именно таким поведением характеризуется энергия связанного состояния от глубины потенциальной ямы в двумерной системе. Данная аналогия имеет глубокий физический смысл и объясняет природу связанного состояния электронов. Электроны, движущиеся в узком слое вблизи поверхности Ферми можно считать эффективно двумерными. Поэтому в соответствии с общим результатом квантовой механики пара таких электронов образует связанное состояние при сколь угодно слабом взаимодействии.