Примеры решения задач. Цилиндрический барабан ультрацентрифуги, применяю­щийся для разделения высокомолекулярных соединений

ЗАДАЧА № 1

Цилиндрический барабан ультрацентрифуги, применяю­щийся для разделения высокомолекулярных соединений, имеет диаметр 20 см и массу 5 кг. Для остановки барабана, вращающегося с частотой 9000 об./мин, к нему после выключения электродвигателя прижали тормозную колодку. Какую силу трения нужно приложить к боковой поверхно­сти барабана, чтобы остановить его за 20 секунд? Сколько оборотов он сделает до полной остановки? Какова будет работа силы трения?

Дано:

Решение: Момент силы трения, приложенной к поверхности барабана, . Считая барабан сплошным цилиндром, можно написать, что его момент инерции равен

Из основного уравнения динамики вращательного движения следует, что , где ɛ - угловое ускорение. Следовательно,

Угловая скорость тела, вращающегося с угловым ускорением β и с начальной скоростью , по прошествии времени t от начала движения будет равна: . Так как барабан, по условию задачи, останавливается, то . Поэтому . Отсюда

Подставляя это выражение в формулу (1), получим:

(знак минус означает, что сила замедляет вращение барабана).

Считая вращение барабана равнозамедленным, можно написать, что величина угла поворота

Но так как ω=0, то

С другой стороны, угол поворота связан с полным числом оборотов барабана соотношением

Приравнивая правые части выражения (3) и (4), получаем:

Работа силы трения, необходимая для полной остановки барабана, будет равна его кинетической энергии, т.е

Проверим размерности формул (2) и (6):

[

 

.

Таким образом, полученные формулы дают правильные размерности силы и работы.

Сделаем подстановку числовых значений заданных величин:

 

 

 

Ответ:

 

ЗАДАЧА №2

Горизонтальная платформа массой 150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, делая 6 об./мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С каким числом оборотов будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано:

Решение: На основании закона сохранения момента импульса можно записать:

где – момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее крае;

– момент инерции платформы с человеком в ее центре.

Считая платформу однородным диском и человека точечной массой, можно написать:

Так как в момент инерции точечной массы, находящейся в центре вращения платформы, равен 0, то

Таким образом, так как ,

Отсюда

Подставим числовые значения:

Ответ: число оборотов платформы возрастет и станет .

 

ЗАДАЧА №3

Косилка-измельчитель предназначена для скашивания травы и одновременного измельчения кормов для скота. Зависимость угла поворота барабана косилки КС-1 от времени дается уравнением:

.

Найти угловую скорость вращения барабана и линейную скорость точек на его поверхности через 10 с от начала вращения. Диаметр барабана 0,5 м.

Дано:

Решение: Угловая скорость есть производная углового перемещения по времени:

Подставляя числовые данные, получим:

Линейная скорость

Ответ: Угловая скорость равна 5,6 , и линейная скорость равна 1,4 .