Элементы комбинаторикиЗадание 1.1. Сочетания и перестановки. Составить по одной задаче на следующие комбинаторные формулы: а) число сочетаний; б) число перестановок; в) число сочетаний с повторениями; г) число перестановок с повторениями. Получить для всех составленных задач числовой ответ. Задание 1.2. Обобщённое правило сложения. Согласно опросу N телезрителей, a из них нравится смотреть новости, b предпочитают смотреть спорт, c – комедии, d – новости и комедии, e – спорт и комедии, f – новости и спорт, g любят все три вида программ. (См. исходные данные.) Сколько телезрителей а) смотрят новости, но не смотрят спорт; б) смотрят новости или спорт, но не любят комедии; в) не любят смотреть ни новости, ни спорт; г) смотрят всё, кроме спорта; д) смотрят спорт и комедии, но не смотрят новости? Исходные данные к заданию 1.2
Задание 1.3. Комбинаторные схемы. Ответить на вопрос, сформулированный в условии задачи. 1. Сколькими способами 6 различных конфет можно разделить поровну между тремя детьми? 2. Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»? 3. Сколькими способами можно разделить 28 костей домино четырём игрокам так, чтобы каждый получил 7 костей? 4. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Иван мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядок их следования? 5. Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «КОМБИНАТОРИКА? 6. На чемпионате мира по лёгкой атлетике проводится полуфинальный забег на 100 метров, в котором участвует 8 спортсменов. Четверо лучших выходят в финал. Сколько существует способов выхода в финал? 7. Сколькими способами можно расселить 8 студентов по трём комнатам в общежитии: одноместной, трёхместной и четырёхместной? 8. Из 10 роз и 8 георгинов составляется букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов? 9. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников, 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, двух защитников и трёх нападающих? 10. Сколько существует восьмизначных чисел, в которых цифра 1 встречается три раза, а цифры 2, 3, 4, 5, 6 по одному разу? 11. У мамы 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Каждый день в течение 9 дней подряд она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано, если фрукты одного вида неотличимы друг от друга? 12. Сколько различных слов можно образовать, переставляя буквы в слове «ВОДОРОД», но так, чтобы три буквы «О» не шли подряд? 13. В кондитерском отделе имеются пирожные четырёх сортов: наполеоны, эклеры, песочные и слоёные. Сколькими способами можно совершить покупку из семи пирожных? 14. Сколькими способами шесть одинаковых конфет можно разделить между тремя детьми? 15. В автомобиле семь мест. Каким числом способов семь человек могут расположиться в автомобиле, если место водителя могут занять только трое из них? 16. Сколько семизначных телефонных номеров не содержат других цифр, кроме 5, 3, 2? 17. Сколькими способами можно распределить семь преподавателей на проверку двадцати заочных работ, если каждая работа должна проверяться одним преподавателем? 18. Сколько трёхзначных чисел делится на пять? 19. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр числа 75226522? 20. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом n -угольнике? 21. Сколькими способами можно разместить десять писем по десяти различным конвертам? 22. Сколькими способами можно разложить в два кармана девять монет различного достоинства? 23. Сколько различных семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4? 24. Сколько положительных целых чисел, меньших 700, делятся на 5? 25. Сколько положительных целых чисел, меньших 700, делятся на 3? 26. Сколько положительных целых чисел, меньших 700, делятся и на 5, и на 3? 27. Сколько целых чисел между 1 и 3000 делится на 5, 7 или 11? 28. Сколько пятизначных целых чисел начинаются с цифры 3 и заканчиваются на 5 или содержат цифру 7? 29. Номер автомобильного прицепа состоит из трёх букв и трёх цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 12 букв и 10 цифр? 30. Сколькими способами можно расставить на шахматной доске четыре ладьи так, чтобы они не били друг друга? Задание 1.4. Комбинаторные схемы. Сколькими способами можно выбрать путь из начала координат Исходные данные к заданию 1.4
Задание 1.5. Комбинаторные схемы. Сколькими способами можно оплатить покупку стоимостью A рублей (см. исходные данные), используя монеты достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей? Исходные данные к заданию 1.5
Задание 1.6. Комбинаторные схемы. Сколькими способами можно поставить n книг на k полок (на каждую полку могут поместиться все n книг и Исходные данные к заданию 1.6
Задание 1.7. Комбинаторные схемы. Имеется n 1 красных, n 2 синих, n 3 белых и n 4 чёрных шаров. а) Сколькими способами эти шары можно разложить в k ящиков? Сколькими способами это можно сделать, если в каждом ящике должны присутствовать шары всех цветов? б) Сколькими способами можно выбрать по одному шару каждого цвета? в) Сколькими способами можно выбрать по k шаров каждого цвета? Исходные данные к заданию 1.7
Задание 1.8. Комбинаторные схемы. Продаются воздушные шарики n различных цветов (красные, синие, зелёные и т.д.). а) Сколькими способами можно приобрести k шариков? б) Сколькими способами можно приобрести k шариков различных цветов? в) Сколькими способами можно приобрести k шариков так, чтобы среди купленных было не менее двух красных и одного синего шарика? Исходные данные к заданию 1.8
Задание 1.9. Комбинаторные схемы. Имеется n 1 предметов первого вида, n 2 предметов второго вида, n 3 третьего и n 4 четвёртого вида. а) Сколькими способами можно распределить эти предметы между двумя людьми (не исключая случая, когда одному из них ничего не достаётся)? б) Сколькими способами можно распределить эти предметы между двумя людьми так, чтобы каждому досталось не менее двух предметов каждого вида (полагаем, что предметов каждого вида не менее четырёх)? Исходные данные к заданию 1.9
|
в точку 
, если каждый шаг равен 1, но его можно совершать только вправо или вверх? Сколько таких путей проходит через точку 
?
)? Сколькими способами можно поставить книги так, чтобы ни одна полка не осталась пустой?
