Задача 4. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок (это значит, что математическое ожидание случайных ошибок равно нулю)

Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок (это значит, что математическое ожидание случайных ошибок равно нулю). Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением s=20 г.

Записать выражение плотности распределения X. Найти симметричный относительно M (X) интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадает ошибка взвешивания. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Решение

Найдем длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

По условию σ=20 и

Применим формулу: и найдем :

Находим , Подставим и получим

Длина интервала:

мм.

Плотность вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону равна:

В нашем случае ; ,

Тогда

или

 

Найдем вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г

Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому применима формула: .

Итак, искомая вероятность есть:

 

Литература

1. Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей. И математическая статистика. Издание девятое. стереотипное.

3. Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».

4. Хеннекен П.А. «Теория вероятности»