Функция, и её свойства

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

●Переменная х - независимая переменная или аргумент.

●Переменная у - зависимая переменная.

●Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.

●Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

●Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

●Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x).

●Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x).

●Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).

●Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).

3. Способы задания функции:

●Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

●На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

Степенные функции:

 

Функция вида у(х)=хⁿ, где n – число ÎR, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

 

Степенная функция у=х²

1. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2. E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;

3. При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).

5. Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.

Рис. 3 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

 

Степенная функция у=х³

1. График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2. D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3. E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4. При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).

Рис. 4 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

 

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3. Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4. Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5. Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.

Рис. 5 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

 

Степенная функция с дробным показателем

Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1. D(x) ÎR, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число;

2. E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;

3. Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

4. Функция проходит через начало координат в любом случае.

Рис. 6 График функции , на интервале xÎ [0;3]

Рис. 7 График функции , на интервале xÎ [0;5]

Рис. 8 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

 

Показательные функции:

 

Функция, заданная формулой у=а^х (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Основные свойства показательной функции:

1. Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2. Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3. При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.

4. Является функцией общего вида.

Рис. 1 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

Рис. 2 График функции , на интервале xÎ [-3;3]

 

Логарифмические функции:

Логарифмическая функция у = log_a x обладает следующими свойствами:

1. Область определения D(x)Î (0; + ∞).

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4. Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = log_a x может быть получен из графика функции у = а^х с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.

Рис. 9 График функции ; на интервале xÎ [0;5]

Рис. 10 График функции ; на интервале xÎ [0;5]

Тригонометрические функции:

Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.

Функция y = sin (х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].

3. Функция периодическая; основной период равен 2π.

4. Функция нечетная.

5. Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.

Рис. 11 График функции ; на интервале xÎ [-2 ;2 ]

Функция y = cos(х).

1. Область определения D(x) ÎR.

2. Область значений E(y) Î [ - 1; 1].

3. Функция периодическая с основным периодом 2π.

4. Функция четная.

5. Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.

Рис. 12 График функции ; на интервале xÎ [-2 ;2 ]

Функция y = tg х.

1. Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.

2. Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3. π- основной период функции.

4. Функция нечетная.

5. Функция возрастает на промежутках (-π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции у = tg х изображен на рисунке 13.

Рис. 13 График функции ; на интервале xÎ (- ; )

Функция y = ctg х.

1. Область определения функции: D(x) Ï xπ/2 +πk, kÎZ.

2. Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).

3. Функция периодическая с основным периодом π.

4. Функция нечетная.

5. Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.

Рис. 14 График функции ; на интервале xÎ (-𝜋;)

 

Обратные тригонометрические функции: Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями. Функция y = arcsin (x): Свойства функции y = arcsin (x): 1. Область определения D(x)Î[−1;1] 2. Область значения E(y)Î [−π/2;π/2] 3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x 6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. ∀x∈[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х) График функции y = arcsin (x) изображен на рисунке 15. Рис. 15 График функции ; на интервале xÎ [- ;] Функция y = arccos (x): Свойства функции y = arccos (x): 1. Область определения D(x)Î[−1;1] 2. Область значения E(y)Î [0;π] 3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x 6. y=arccos(x) функция общего вида График функции y = arccos (x) изображен на рисунке 16. Рис. 16 График функции ; на интервале xÎ [- ;] Функция y = arctg (x): Свойства функции y = arctg (x): 1. Область определения D(x)Î(- ∞;+∞) 2. Область значения E(y)Î [−π/2;π/2] 3. y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D 4. График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x 5. y=arctg(x) нечетная функция. График функции y = arctg (x) изображен на рисунке 17. Рис. 17 График функции ; на интервале xÎ [- 5; 5] Функция y = arc с tg (x): Свойства функции y = arcсtg (x): 1. Область определения D(x)Î(- ∞;+∞) 2. Область значения E(y)Î [0; π] 3. y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D 4. График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x 5. y=arcctg(x) функция общего вида. График функции y = arcctg (x) изображен на рисунке 18. Рис. 18 График функции .