Формулы полной вер-ти и Байеса с док-вом. Примеры

Формула полной вер-ти. Теорема.

Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1,А2,…,Аn, образующих полную группу, то вер-ть соб F =сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вер-и события F.

По условию гипотезы А1,А2,…,Аn образуют полную группу, ->, они единственно возможные и несовместные. Т.к А1,А2,…,Аn - единственно возможные, а соб F может произойти только вместе с 1 из гипотез, то . В силу т\ч А1,А2,…,Аn несовместны, можно применить теорему сложения вер-ей:

По теореме умножения вер-ей .Следствием Т умножения и формулы полной вер-ти явл формула Байеса.

Формула Байеса: Пусть Н1, Н2 …— полная группа событий и A — некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Нk, если в результате эксперимента наблюдалось событие A, может быть вычислена по формуле:

Доказательство: По определению условной вероятности,

Пример: Два стрелка подбрасывают монетку и выбирают, кто из них стреляет по мишени (одной пулей). Первый стрелок попадает по мишени с вероятностью 1, второй стрелок — с вероятностью 0,00001. Можно сделать два предположения об эксперименте: и .

Априорные вер-ти этих гипотез одинаковы: .

Рассмотрим событие . Известно, что

Поэтому вероятность пуле попасть в мишень

Предположим, что событие произошло. Какова теперь апостериорная («после опыта») вероятность каждой из гипотез ? Очевидно, что первая из этих гипотез много вероятнее второй (а именно, в раз). Действительно,