Общие сведения

 

Прежде чем перейти к методике составления плана эксперимента, необходимо выяснить некоторые общие положения по этому вопросу.

В инженерном деле исследователь почти всегда встречается с не воспроизводимым экспериментом. Такой эксперимент невозможно изменить или повторить (например, испытания на износ и т.д.).

Тем не менее, будем считать эксперимент воспроизводимым, если изменения, вносимые в процесс эксперимента, настолько малы, что их невозможно обнаружить или ими можно пренебречь.

Планы могут быть двух видов.

Последовательный. План, при котором вначале берется верхнее или нижнее предельное значение независимой случайной величины, а затем оно изменяется через определенные интервалы до достижения второго предельного значения.

Случайный. План, при котором значения независимой величины варьируются случайным образом (рандомизированно), т.е. она принимает то меньшее, то большее значение.

В настоящее время исследователи часто предпочитают последовательный план. Однако, частично или полностью случайный план лучше для многих инженерных экспериментов, так как он позволяет исключить влияние внешних условий на эксперимент, что невозможно достичь при последовательном плане.

Естественные эффекты могут иметь тенденцию к изменению в процессе эксперимента (температура, влажность воздуха и др.). Если независимая переменная меняет свое значение последовательно, то зависимая переменная может изменяться вследствие изменения или изменения внешних условий. Если же изменяется случайным образом, то исключается возможность ошибочно принять влияние внешних воздействий за влияние .

Поэтому последовательный план целесообразно применять только в случаях, при которых эксперимент не воспроизводим, или, если последовательность должна включаться в число основных факторов эксперимента для выявления некоторого эффекта, который будет скрыт при рандомизированном плане.

Область исследуемых значений следует разбить на такие интервалы, чтобы относительная точность на всем протяжении исследуемой зависимости была

одинаковой.

Прежде чем начать проведение основных опытов, необходимо предусмотреть время на предварительный эксперимент с целью:

а) знакомства исследователя с практикой эксперимента и тренаж, то есть, умение обращаться с приборами и аппаратурой, тренировка в выполнении повторяющихся операций;

б) проверки работы установки и измерительного комплекса;

в) определения последовательности и интервалов снятия данных, что непосредственно влияет на точность результатов, снижение эффекта внешних влияний;

г) оценки возможных ошибок первичных измеряемых величин и результата эксперимента.

 

Планирование многофакторных экспериментов

 

При проведении многофакторных экспериментов выбирается классический или факторный план. Факторный план часто бывает короче и всегда точнее классического (при одинаковой продолжительности эксперимента).

Классический план состоит в том, что все независимые переменные, кроме одной, например , принимают постоянными, а эту одну переменную изменяют во всем интервале значений. В результате находится зависимость . Изменяя следующую переменную (например, ) и принимая остальные переменные постоянными, находят зависимость , т.е. классический многофакторный эксперимент представляет собой последовательность однофакторных экспериментов. Таким путем находятся сравнительно простые функции.

; .

Факторный план предусматривает получение математической модели процесса. Такую модель можно использовать для нахождения рациональных условий, управления процессом, а также для корректировки и уточнения теоретических представлений об изучаемом процессе.

Многофакторное планирование, основанное на достаточно общем математическом аппарате, дает возможность описывать процесс не только математически, но и вскрывать объективные закономерности, а также проверять адекватность представления результатов эксперимента определенной интерполяционной зависимостью. При этом сокращается объем исследования и увеличивается объем информации о процессе.

Решение многофакторных задач традиционными методами не дает возможности определить характер взаимодействия факторов между собой и их совместного влияния на выходной параметр. В управляемом эксперименте все исследуемые факторы изменяются одновременно по определенному плану, этим достигается резкое сокращение объема экспериментов и получение более достоверной зависимости, учитывающих взаимодействие факторов.

Таким образом, математическая теория эксперимента и его планирование представляет собой качественно новый подход к исследованию, в котором математическим методом отводится активная роль на всех этапах исследования при формализации априорных сведений, планировании и обработке результатов эксперимента, а также при принятии конкретных решений.

Рассмотрим методику составления плана для проведения эксперимента и обработки его результатов на примере полного факторного эксперимента.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций .

Например, для трехфакторной задачи выборочное уравнение регрессии имеет вид

, (77)

где – расчетное значение функции выхода (параметра оптимизации);

– коэффициенты;

– независимые переменные (факторы), которыми можно варьировать.

Полный факторный эксперимент дает возможность найти раздельные оценки коэффициентов .

Нахождение модели методом ПФЭ состоит из:

а) планирования эксперимента;

б) эксперимента;

в) проверки воспроизводимости (разности выборочных дисперсий);

г) получение математической модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициентов регрессии;

д) проверки адекватности математического описания.

Математическую модель процесса, не содержащую члены первой степени, принято называть планированием первого порядка. Для его планирования ПФЭ задается в виде таблиц – матриц, где в каждом столбце для всех факторов вариация производится только на двух уровнях, т.е. переменная может принимать только два свои экстремальные значения.

Центр эксперимента при этом находится на первом уровне, что соответствует среднему или базисному значению фактора.

Типовая матрица планирования для случая трех переменных приведена в табл. 6.

При кодировании факторов линейно преобразуется факторное пространство с переносом начала координат в центр эксперимента и выбором масштаба по осям в единицах варьируемых факторов.

Таблица 6

Матрица полного факторного эксперимента типа 2³

Матрица ПФЭ – 23

Условия опыта

Серия

Код опыта

Взаимодействия

Код уровня

Выход

Х 1 х 2

х 1 х 3

х 2 х 3

х 1 х 2 х 3

у 1

у 2

у 3

I

d

+

–

–

–

+

+

+

–

(1)

p

+

–

–

–

+

+

+

–

(1)

l

+

–

–

–

+

+

+

–

(1)

II

d

+

+

–

–

–

–

+

+

a

p

+

+

–

–

–

–

+

+

a

l

+

+

–

–

–

–

+

+

a

III

d

+

–

+

–

–

+

–

+

b

p

+

–

+

–

–

+

–

+

b

l

+

–

+

–

–

+

–

+

b

IV

d

+

+

+

–

+

–

–

–

аb

p

+

+

+

–

+

–

–

–

аb

l

+

+

+

–

+

–

–

–

аb

V

d

+

–

–

+

+

–

–

+

с

p

+

–

–

+

+

–

–

+

с

l

+

–

–

+

+

–

–

+

с

VI

d

+

+

–

+

–

+

–

–

ас

p

+

+

–

+

–

+

–

–

ас

l

+

+

–

+

–

+

–

–

ас

VII

d

+

–

+

+

–

–

+

–

bс

p

+

–

+

+

–

–

+

–

bс

l

+

–

+

+

–

–

+

–

bс

VIII

d

+

+

+

+

+

+

+

+

аbс

p

+

+

+

+

+

+

+

+

аbс

l

+

+

+

+

+

+

+

+

аbс

Факторы кодируются посредством зависимости

, (78)

где – кодированное значение фактора (безразмерная величина);

– значение фактора в именованных (натуральных) единицах;

– натуральное значение фактора на нулевом уровне;

– натуральное значение интервала варьирования.

Верхний уровень варьирования фактора обозначается (+1), нижний – (–1). В центре эксперимента фактор имеет базисный уровень (среднее значение). Границы варьирования факторов известны из априорной информации или имеют технические ограничения.

Кроме матрицы с кодированными факторами (см. табл. 6), для проведения эксперимента составляют матрицу с натуральными значениями факторов. В частности, для трех факторов все возможные их комбинации могут быть исчерпаны при реализации восьми серий опытов. Таким образом, число экспериментов для данного случая можно записать как , где 2 – число уровней; к – число одновременно варьируемых факторов и записывается как ПФЭ – .

После проведения эксперимента в распоряжении исследователя имеются: матрица-план независимых переменных и эффектов взаимодействия; векторы-столбцы функции выхода. Цель дальнейшей работы – определить коэффициенты интерполяционного уравнения (77), которое является уравнением регрессии, т.к. получено на основании результатов опыта.

Для матриц типа ПФЭ – 2^к должны выполняться условия

, ; (79)

; (80)

; , (81)

где (79) – условия ортогональности план-матрицы – скалярное произведение векторов-столбцов равно нулю;

(80) – свойство симметричности, расположение всех независимых переменных относительно центра эксперимента (нулевого уровня);

(81) – сумма квадратов всех векторов-столбцов должна быть равна числу серий опыта.

Коэффициенты регрессии определяют по формулам, вытекающим из решения нормальных уравнений методом наименьших квадратов

; ;

(82)

; ,

где – среднее значение из ряда параллельных, рандомизированных во времени.