МЕТОДЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Под системным анализом понимают совокупность приемов и методов для изучения сложных объектов – систем, представляющих собой сложную совокупность взаимодействующих между собой элементов. Взаимодействие элементов системы характеризуется прямыми и обратными связями. Сущность системного анализа состоит в том, чтобы выявить эти связи и установить их влияние на поведение всей системы в целом.

Системный анализ используется для исследования движения таких сложных систем, как солнечная, экономика отдельной отрасли, промышленное предприятие, строительная организация и др. Наиболее часто рассматривается развитие этих систем во времени. Эффективно методы системного анализа могут быть использованы при планировании и организации технологии комплексных процессов, выполняемыми несколькими организациями, при исследовании процессов в системах «складированные отходы – горный массив – выработка», «окружающая среда – защитное средство – человек», «окружающая среда – автомобиль – человек»
и т.д.

Системный анализ складывается из четырех этапов.

Первый этап заключается в постановке задачи: определяют объект, цели и задачи исследования, а также критерии для изучения объекта и управления им. Это важный этап системного анализа, поэтому его выполняет наиболее опытный исследователь. Неправильная, неполная постановка целей может свести на нет результаты всего последующего анализа.

Во время второго этапа очерчивают границы изучаемой системы и определяют ее структуру. Прежде всего, все объекты и процессы, имеющие отношение к поставленной цели, разбивают на два класса – собственно изучаемую систему и внешнюю среду. При этом различают замкнутые и открытые системы. При исследовании замкнутых систем влиянием внешней среды на их поведение пренебрегают. Затем выделяют отдельные составные части системы – ее элементы, устанавливают взаимодействие между ними и внешней средой.

Следует отметить, что в последнее время все большее внимание в технике привлекают замкнутые системы, которые описывают закрытые технологические циклы, например, так называемую «безотходную технологию». Такие технологические процессы перспективны не только с позиций экономики, они также обусловлены требованиями экологии. В настоящее время утверждается принцип – «чем больше отходов, тем ниже уровень производства».

Третий, важнейший этап системного анализа заключается в составлении

математической модели исследуемой системы. Вначале производят параметризацию системы, описывают выделенные элементы системы и элементарные воздействия на нее с помощью тех или иных параметров. При этом различают параметры, характеризующие непрерывные и дисперсные, детерминированные и вероятностные процессы. В зависимости от особенностей процессов используют тот или иной математический аппарат.

Аналитические методы используют лишь для описания небольших систем вследствие их громоздкости или невозможности составить и решить системы уравнений. Для описания больших систем, все чаще исследуемых в настоящее время, используют дискретные параметры, например переменные, принимающие целочисленные значения. С их помощью можно изучить процессы и объекты, которые характеризуют не только качественно, но и количественно, используя для этой цели большую систему. Например, твердость материалов оценивают баллами по шкале Мооса, морозостойкость бетонов – баллами по С.В. Шестоперову и др. Методы операций с дискретными параметрами излагаются в теории множеств и, прежде всего, в ее важнейших разделах – алгебре множеств и алгебре высказываний (математической логике). Эти разделы получили большое развитие в последнее время, они составляют основу математического обеспечения
современных ЭВМ.

Теория множеств – наука об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. В ней рассматриваются такие вопросы, как количественные сравнения, упорядоченные множества и др. В алгебре множеств и высказываний наряду с изучением операций над произвольным алгебраическим множеством рассматривается формализация «законов мысли». Это обеспечивает формулирование правил логики на языке математики, который используется современными ЭВМ. Далее устанавливают количественные зависимости между выбранными параметрами, которые могут быть представлены в виде уравнений, графиков, таблиц и т.д. Наиболее часто зависимости в сложных системах характеризуются алгоритмами с использованием количественных и качественных параметров.

Если исследуются сложные системы (именуемые как обобщенные динамические системы), характеризуемые большим количеством параметров различной природы, то в целях упрощения математического описания их расчленяют на подсистемы, выделяют типовые системы, производят стандартизацию связей для различных уровней иерархии однотипных систем. В результате третьего этапа системного анализа формируются законченные математические модели системы, описанные на формальном, например, алгоритмическом языке.

В последнее время для обобщенных динамических систем все чаще используют булевые модели, которые получили такое наименование в честь выдающегося математика Д. Буля (1815 – 1864) – основоположника алгебры множеств и алгебры высказываний (алгебра Буля). В булевых моделях связи описываются дискретными параметрами преимущественно в двоичной системе исчисления. Такие модели исследуются, как правило, с помощью ЭВМ.

Различают булевые модели с односторонними и двусторонними переходами. В первых моделях вначале все параметры имеют значение «0», затем в какие-то моменты изменяется это значение на «1», после чего их обратный переход уже невозможен. Примером моделей с односторонним переходом являются сетевые графики, при составлении и исследовании которых, наряду с алгеброй множеств, широко используют теорию графов.

Графом называют множество точек (вершины графа) и линий (дуги графа), соединяющих некоторые из этих вершин (рис. 16). Теория графов рассматривает операции над ними – сложение, умножение, объединение графов.

В расчетах и исследовании сетевых графиков часто используют ориентировочные графы (рис. 16, ) с одним истоком, без циклов.

Вершинами ориентированного графа служат события сетевого графика (например, начало выполнения какой-либо строительной операции), а дугами – работы, описываемые сетевым графиком. Расчет сетевых графиков состоит, главным образом, в том, чтобы отыскать наилучшие пути с целью обеспечить сокращение сроков выполнения работ и снижение материальных затрат. Примером может служить расчет сетевого графика планирования и организации строительных работ.

В булевых моделях с двухсторонним переходом параметры могут любое

число раз менять свои значения с 0 на 1 и обратно.

Эти модели используют при исследовании, например, социальных процессов. Наряду с аппаратом алгебры множеств и алгебры высказываний при исследовании булевых моделей широко используют вероятностные методы, поскольку в сложных системах преобладают стохастические процессы. Поэтому наиболее часто исследуют развитие процессов с некоторой вероятностью или же определяют вероятность протекания изучаемых процессов.

В технических науках системный анализ в большинстве случаев производят в целях оптимизации процессов и управления системами, заключающихся в выборе такого варианта управления, при котором достигается минимальное или максимальное значение заданной (выбранной) величины – критерия оптимизации. Сложность выбора надлежащего критерия состоит в том, что на практике в задачах оптимизации и управления имеют дело со многими критериями, которые часто бывают взаимно противоречивыми. Математически правильная постановка задачи оптимизации предполагает наличие лишь одного критерия. Наиболее часто выбирают какой-либо один критерий, а для других устанавливают пороговые (предельно-допустимые) значения. Иногда применяют смешанные критерии, представляющие собой функцию от первичных параметров.

Во многих случаях критерии оптимизации называют целевыми функциями.

Оптимизация процессов и системы аналитическими методами состоит в том, что необходимо найти экспериментальное (минимальное или максимальное) значение некоторой функции в определенной области S значений параметров . Однако классические аналитические методы используют редко для оптимизации сложных реальных процессов. Сложные экстремальные процессы обычно решают другими методами, основой которых является постепенное приближение к экстремуму. Для этой цели часто применяют метод наискорейшего (градиентного) спуска и подъема. Суть метода поясним на следующем примере. Допустим, что необходимо найти экстремум целевой функции , описывающей некоторую поверхность (рис. 17).

Нахождение экстремума начинают с любой точки поверхности Из этой точки определяют направление подъема или спуска, которое является наиболее крутым; его называют градиентом и обозначают .

Отсюда же начинают движение по направлению градиента к оптимуму с шагом , где с – постоянная величина, зависящая от точности измерения. В результате получаем новую точку в которой повторяют описанную процедуру до тех пор, пока не определяют экстремум. Этот способ используют также при оптимизации процессов экспериментальным путем методами математического планирования эксперимента, который изложен ниже. На практике встречаются задачи оптимизации, когда при нахождении экстремума целевая функция f и граничные уравнения ее области S являются линейными. Решая задачи такого класса, чаще всего применяют методы линейного программирования.

Для различных отраслей народного хозяйства приходится решать разнообразные задачи рационального распределения ресурсов – как наилучшим образом использовать рабочих, машины, строительные материалы и изделия, организовать процессы, управление ими, как наиболее рационально разместить производственные предприятия и т.д. Так, например, во время управления ходом строительного процесса возникает потребность в оптимальном решении задач с учетом изменяющейся обстановки. Очень часто методы линейного программирования используют для решения транспортной задачи, которая приведена выше.

При формулировании задачи вводится критерий (целевая функция), количественно определяющий успешность процесса. Задача линейного программирования заключается в нахождении такого процесса (операции), при котором целевая функция достигла бы максимума, и математически формулируется следующим образом: необходимо найти значения п переменных , удовлетворяющим т ограничениям:

(66)

и максимизирующих или минимизирующих целевую функцию

, (67)

где – заданные константы.

В формулировании задач линейного программирования требуется, чтобы все переменные были неотрицательными, т.е. > При таких условиях задача удобна для численного решения.

Задачи линейного программирования в настоящее время хорошо изучены и решение их сводится к сравнительно простым вычислениям. На многие из них имеются разработанные для ЭВМ типовые программы.

В раде случаев встречаются задачи нелинейного программирования, целевая функция которых записывается как сумма линейных и нелинейных:

. (68)

Среди задач нелинейного программирования встречаются такие, в которых ограничения не имеют дискретных переменных. В них функции непрерывные и выражаются частными производными. Эти задачи иногда называют классическими задачами оптимизации, поскольку решаются классическими методами на основе дифференциального исчисления.

Различают также другой вариант задач нелинейного программирования. Это задачи целочисленного линейного программирования. В этом случае в качестве ограничений выставляют особое требование о целостности переменных значений.

Задача формулируется следующим образом:

(69)

– целые числа.

Решение большого количества производственных задач методами линейного и нелинейного программирования обеспечивает большой экономический эффект, в частности, снижение сметной стоимости в результате оптимизации процессов составляет 3 –7 %.

Некоторые практические процессы в строительном, горном производстве непрерывно изменяются, особенно те, что связаны с управлением производством. В связи с изменением условий доставки материалов, оборудования, наличием машин и механизмов, изменением метеорологических и других условий, наличием бригад разных специальностей, практически ежедневно на производстве приходится рассматривать новые ситуации. Таким образом, такой процесс является динамическим.

Решение ряда практических задач с учетом различных ситуационных изменений, особенно в управлении процессом, можно осуществить с помощью метода динамического программирования.

Этот метод в строительстве и в горном производстве начали применять сравнительно недавно. Уже известны решения ряда задач, направленных на оптимизацию процессов: при выборе оптимальных составов техники, распределении капиталовложений в различные периоды, решении технико-экономических задач по реконструкции различных объектов, оценке эффективности развития производственной базы и т.д.

В основу задач динамического программирования положены принципы оптимальности. Оптимальное управление процессом определяется заданной целью и составлением системы в рассматриваемый период времени, независимо от изменившихся условий, которые привели систему в данное состояние.

Целевая функция выражается суммой

, (70)

где N –общее число интервалов (шагов);

– управляющие воздействия;

– значение координаты в дискретные моменты времени t.

При оптимальном управлении функционал (70) должен быть минимизирован или максимизирован. Оптимальный процесс станет известен, если будут найдены значения управляющего воздействия во все дискретные моменты времени , имеющие определенные ограничения и минимизирующие (максимизирующие) сумму (70).

Чтобы решить задачу динамического программирования, необходимо отыскать минимум (максимум) сложной дискретной функции большого количества переменных. Метод динамического программирования сводит эту задачу к простой – минимизируются простые функции в обратном порядке – от конца к началу процесса.

Для исследования оптимизации процессов методами линейного, нелинейного или динамического программирования нет стандартных решений. В каждом конкретном случае применяют свой подход (метод) к решению задачи. Особенно трудны задачи нелинейного и динамического программирования.

Следует иметь в виду, что при решении задач оптимизации производства могут возникнуть случаи, когда вследствие оптимизации какого-либо процесса может ухудшиться другой. Поэтому необходимо соблюдать комплексность решения с учетом всех особенностей процесса и смежных его факторов. Рассматривая задачу по этапам, необходимо анализировать в целом обстановку, которая складывается в результате оптимизации исследуемого процесса.

Одним из методов оптимизации процессов, применяемых в последнее время, являются методы, основанные на теории массового обслуживания (ТМО). ТМО имеет целью отыскать оптимальные условия, т.е. обеспечить эффективность работы системы «требование – обслуживание».

Под обслуживанием понимают удовлетворение в потребности какой-либо заявки. Например, погрузка угля в автомобили-самосвалы. В этой системе в качестве требования выступает подача под погрузку автомобилей по заявкам, в качестве обслуживания – погрузка угля средствами погрузки (экскаваторы, автопогрузчики, транспортеры и др.). Таким образом, в ТМО система состоит из числа (потока) требований, обслуживающего прибора (аппарата) и выходящего потока.

В зависимости от условий функционирования системы число требований создает очередь на обслуживание. Так, при избытке автомобилей неизбежно возникают простои на погрузку перед экскаватором.

Основными характеристиками ТМО являются: интенсивность поступления требований или заявок на обслуживание, ; интенсивность обслуживания (пропускная способность прибора обслуживания), ; коэффициент использования системы, ; время ожидания в очереди до обслуживания, ; длительность обслуживания, ; время обслуживания в системе, ; число требований в очереди, ; математическое ожидание числа требований в системе, .

Эти характеристики имеют следующие соотношения:

; ; ; . (71)

Индекс «–» означает, что принимаются средние значения; ,

как правило, принимают случайные значения, чаще всего распределение времени обслуживания по длительности выражается показательным законом.

В ТМО <1, т.е. интенсивность обслуживания выше интенсивности требования, тем не менее, возникает очередь на обслуживание, поскольку по ряду причин величина переменная, а интервал между обслуживанием неритмичен. В результате, несмотря на то, что > , возникают очереди.

Задачей ТМО в конечном счете является установление наиболее достоверных зависимостей между интенсивностью потока требований и производительностью (пропускной способностью) прибора, их количеством и эффективностью обслуживания системы.

Показателем эффективности функционирования системы могут быть , приведенная стоимость и др.

Теория массового обслуживания базируется на анализе случайных процессов. При решении тех или иных практических задач в каждом случае принимаются индивидуальные решения.

В качестве примера рассмотрим случай обслуживания экскаватора автомобилями-самосвалами.

Имеется система «экскаватор – автосамосвалы». При обычном расчете потребное количество автомобилей равно

, (72)

где – полное время одного цикла автосамосвала;

– время погрузки самосвала.

Это выражение справедливо только при строгом соблюдении графика работы, цикличности подачи автомобиля, высокой надежности работы экскаватора и самосвалов. Однако на практике такой синхронной работы не наблюдается. Время цикла автосамосвала неодинаковое и изменяется на 100 – 200 % в меньшую и большую сторону от среднего значения. Время погрузки также не

одинаково.

Таким образом, рассматриваемая система не является конвейерной. Она функционирует как система массового обслуживания, поскольку поток требований и обслуживание этого потока базируется на случайных воздействиях. Следовательно, анализ системы может быть выполнен методами теории вероятностей.

Эта система с позиции теории вероятностей может находиться в различных условиях (вариантах): смеситель простаивает из-за отсутствия 1,2,3,…, N самосвалов; смеситель полностью загружен работой (максимальное обслуживание).

Вероятность каждого такого условия вычисляют по формуле

. (73)

Здесь – количество автосамосвалов в обращении ;

– среднее количество рейсов за один час работы, ;

– вероятность простоя смесителя;

– среднее количество самосвалов, находящихся под погрузкой в течение одного часа.

Из этого уравнения вероятность простоя смесителя

. (74)

Вероятность простоя каждого самосвала

. (75)

Анализ показывает, что использование обычных методов расчета автомобилей (72) приводит к тому, что смеситель используют не полностью (максимум до 75 %), а простои под погрузкой достигают 10 %.

С увеличением процента использования смесителя резко возрастает потребность в автомобилях. Поэтому, для выбора оптимального соотношения в системе «смеситель – автосамосвалы» необходимо продолжить исследование по экономическому критерию.

В системе анализа используют методы теории игр, которая рассматривает развитие процессов как случайные ситуации. Теория игр – это математическая теория конфликтов. Конфликт заключается в том, что интересы двух сторон не совпадают (борьба интересов) или стороны преследуют противоположные цели.

Примером конфликтной ситуации являются, например, все спортивные

игры. Игрок выбирает такую совокупность правил поведения (стратегию), которая обеспечивает ему желаемый результат – выигрыш.

Как правило, теория игр рассматривает конфликтные ситуации, при которых приходится принимать решения с частным или полным отсутствием данных об обстановке. Поэтому, могут быть и случайные ходы, эффект которых можно оценить в среднем математическим ожиданием. Результат игры оценивают количественными показателями или условными числами: выигрыш + 1, ничья 0, проигрыш – 1.

Методы теории игр применяются не только для исследования в буквальном понятии конфликтных ситуаций, но и для решения задач, в которых, например, в качестве «противника» выступает природа. Такие задачи возникают при строительстве различных сооружений, организации работ, организации транспортных процессов в сельском хозяйстве, метеорологии и др.

С помощью теории игр можно оценить наиболее благоприятные и неблагоприятные ситуации и на основе полученных данных принять оптимальное для данных условий решение. В теории игр важное значение имеет понятие стратегии, под которым подразумевают правила поведения каждой стороны в ответ на действия другой стороны.

Целью игры является обеспечение выигрыша.

Чаще применяют наиболее полно разработанную теорию парной игры с нулевой ничьей, когда исследуется задача с двумя противоположными сторонами А и В. При этом одна сторона выигрывает все, что проигрывает другая, т.е. сумма выигрышей равна нулю.

Если допустить, что каждая из сторон придерживается оптимальных стратегий, то они могут рассчитывать на равновесный средний выигрыш, называемый ценой игры . Решить игру, значит найти пару оптимальных стратегий для А и В и цену игры. Игру называют конечной, если стороны располагают конечным числом стратегии. Так, если А имеет т стратегии, а В – п, то игра называется т п.

Игровую стратегию задают матрицей игры (табл. 4).

Таблица 4

Стратегия	Стратегия
		…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

В матрице помещают средние выигрыши с соответствующей парой стратегий. Например, – это выигрыш стороны со стратегией . При любой стратегии сторона стремится свести выигрыш к минимуму . Поскольку имеет место множество стратегий, то сторона находит такую стратегию, при которой обеспечивался максимальный выигрыш, т.е. определяются наиболее благоприятные условия игры для стороны .

Этот результат – максимальный выигрыш при некотором противодействии

(максимин) – называют нижней ценой игры.

Такая стратегия всегда обеспечивает стороне выигрыш не ниже . Аналогично для существует минимальный проигрыш . Величину называют минимаксом или верхней ценой игры. Обычно ведут расчеты по принципу минимакса (принципу «осторожности») т.е. находят такую стратегию, когда сторона получает наилучший результат при наихудших действиях стороны . Этот принцип является основным в теории игр, он обеспечивает определенный запас в инженерных расчетах.

Игры, для которых , имеют, по крайней мере, одно решение, что возможно при условии полной информации, т.е. тогда, когда каждая из сторон знает результаты всех предыдущих ходов своих и противника. Обычно , это игры смешанных стратегий. В этом случае выбор и оценку вероятности оптимальной стратегии производят из множества стратегий методами линейного программирования. На основе анализа стратегий составляют матрицу игры. Исследуя матрицу, исключают заведомо нереальные стратегии и упрощают матрицы. Далее вычисляют и и определяют цену игры , которая находится в пределах .

По значениям устанавливают оптимальную стратегию.

Пример. Строительное управление планирует разработку грунта в зимний период. Имеется два варианта разработки, т.е. две стратегии:

– разработку грунта производить в мерзлом состоянии мощными землеройными машинами;

– разработку грунта производить менее мощными машинами в не промерзшем состоянии, используя снег как уплотнитель, ограничивающий промерзание грунта на заранее установленную допустимую глубину.

В качестве противника выступает природа. Она имеет свою стратегию: – сильные морозы наступают после выпадения снега (грунт промерзает на небольшую глубину);

– морозы наступают до выпадения снега (грунт сразу же промерзает на большую глубину).

В этой игре ценой будет экономический эффект.

На основе анализа климатических условий за прошлые годы задана матрица (табл. 5).

Таблица 5

Стратегия	Стратегия
		Минимум строк
Максимум столбиков

Определим нижнюю и верхнюю цену игры:

; .

Поскольку , то принимаем смешанную стратегию. Для игр задачу можно решить упрощенным способом.

Вначале рассмотрим случай, когда сочетание климатических условий наиболее благоприятно, т.е. при нижней цене игры .

В этом случае

; ;

; , (76)

где и – вероятности событий.

Так как , то , ; .

Анализ показывает, что если бы природа придерживалась благоприятной для строительной организации стратегии, то лучшим был бы вариант разработки промерзающего грунта (с учетом теплоизоляции снега), т.к. наступают сильные морозы до выпадения снега лишь один раз в 9 лет.

Однако разумнее допустить иной вариант – природные условия сложатся неблагоприятно для строителей. В этом случае (при верхней цене ) имеем:

; ,

где и – вероятности событий в этом случае.

Так как , то ; .

В этом наиболее неблагоприятном варианте в пяти зимах из девяти морозы наступают до выпадения снега. Поэтому оптимальной является такая стратегия, когда принимают производство работ в мерзлом грунте (без утепления снегом), чем создают необходимые резервы для успешного выполнения работ в любых климатических условиях.

Наиболее полно можно выполнить системный анализ методами кибернетики, которая представляет собой науку о сложных динамических системах, способных воспринимать, хранить и перерабатывать информацию для целей оптимизации и управления. В настоящее время кибернетика и ее основное приложение – электронно-вычислительная техника проникает во все области науки, техники и производства. Важнейшим понятием кибернетики как основы управления в природе и технике является понятие обратной связи, которая проявляется в отраженном влиянии на процесс его собственного действия. Методы кибернетики тесно связаны со многими общенаучными методами, поскольку общенаучный характер закономерностей, принципов, средств и методов науки наиболее ярко выражен в кибернетике.

Выше были изложены основные математические методы исследования, которые могут быть использованы в горном деле. В каждом конкретном случае студент более глубоко может ознакомиться с ними в специальной литературе.

Этап теоретических разработок научного исследования включает в себя следующие основные разделы:

анализ физической сущности процесса, явлений;

формулирование гипотезы исследования, построение, разработка физической модели;

проведение математического исследования;

анализ теоретических решений, формирование выводов.

Может быть принята и другая структура теоретической части исследования, например, если не удается выполнить математическое исследование, то формулируют рабочую гипотезу в словесной форме, привлекая графики, таблицы и др.

Однако, в технических науках необходимо стремиться к применению математизации выдвинутых гипотез и других научных выводов.