ВВОДНАЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

 

Рассмотрим возможности Mathcad для решения дифференциальных уравнений.

 

Запишем пример.

 

Это диф. ур-е описывает некоторую неизвестную функцию. здесь производная некой неизвестной функции по переменной . Проинтегрируем его, чтобы найти :

 

 

Решение этого диф. ур-я нам даёт некое семейство функций. Чтобы найти конкретную функцию, нужно задать начальное условие :

 

 

Нужно найти константу .

 

Подставляем в решение вместо :

 

 

 

Подставляем конкретное найденное в решение диф. ур-я и получаем искомую функцию:

 

 

Построим график получившейся функции:

 

 

Так обстоит дело с решением простого дифференциального уравнения.

 

В Mathcad мы будем искать численное решение диф. ур-й, результатом будет таблица значений аргумента и функции, по которой в Mathcad можно легко построить график.

 

Запишем наш пример на синтаксисе системы Mathcad.

 

Зададим начальное условие:

 

 

Решаемое диф. уравнение (первого порядка) должно быть разрешено относительно производной. Левая часть диф. уравнения не задаётся, по умолчанию в левой части у нас всегда находится первая производная. Всё различие между диф. уравнениями будет заключаться в правой части. Задаётся правая часть диф. уравнения:

 

– в параметрах функции сначала указываем имя независимой переменной (), а потом – имя искомой функции ().

 

После задания правой части и начального условия мы вызываем собственно систему численного решения дифференциальных уравнений. Наиболее эффективным численным методом решения диф. ур-я является метод Рунге-Кутта. Рунге и Кутт – два немецких математика, разработавшие данный метод в конце XIX века. Существовало целое поколение программистов, которые программировали этот метод. Теперь этот метод встроен практически во все математические пакеты.

 

 

где – это начальное условие, которые мы задали заранее. В системе Mathcad начальное условие можно указывать прямо в скобках в качестве параметра функции (в явном виде).

– это отрезок интегрирования. Мы выбрали отрезок от 0 до , т. к. наша функция периодическая, и её период равен .

30 – число разбиения отрезка интегрирования. Как мы знаем, для нахождения численного решения интеграла, мы разбиваем отрезок на несколько частей и на каждом участке аппроксимируем исходную функцию некой параболой (метод Симпсона), хордой или прямоугольником. Чем больше частей, тем ближе значение интеграла к аналитическому решению. Длина каждого отрезка в нашем случае равна , т. е. порядка 2.

– это функция, составляющая правую часть нашего диф. ур-я. Без этого параметра Mathcad не будет знать, какое же диф. ур-е мы решаем.

означает фиксированный шаг.

 

Чтобы получить ответ, достаточно ввести следующую строчку:

 

 

Результат мы получим в виде таблицы из 30 строк (по одному на каждый отрезок разбиения) и двух столбцов, где первый столбец – это значение , а правый – значение .

 

 

В этой таблице столбик со значениями имеет наименование , а столбик со значениями имеет наименование . Поэтому чтобы построить график найденной функции , нам нужно вызвать декартову плоскость, а затем обозначить левую ось , а нижнюю ось – . Для того чтобы создать треугольные скобочки в степени, нужно набрать , а затем щёлкнуть комбинацию клавиш .

 

 

 

05.04.2012 Практика