Решение типовых задач. Задача 1.Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 штЗадача 1. Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате был установлен средний вес детали - 30 г при среднеквадратическом отклонении равном 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить предел, в котором находится средний вес детали в генеральной совокупности. Решение. Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе (повторная выборка) определится по формуле
Нам известно, что t =2 (т.к. P =0.954);
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес детали в генеральной совокупности будет находиться в пределах
Задача 2. Был проведен учет городского населения города А методом случайного бесповторного отбора. Из общей численности населения 500 тыс. человек было отобрано 500 тыс. и установлено, что 15% имеют возраст старше 60 лет. С вероятностью 0,683 определить предел, в котором находится доля жителей города А в возрасте старше 60 лет. Решение. Предельная ошибка доли при собственно-случайном бесповторном отборе определится как
Здесь
Следовательно, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля жителей старше 60 лет находится в пределах: 0,15-0,048< P <0,15+0,048; или 10,2%< P <19,8%. Задача 3. Проведена 10%-ная типическая выборка пропорциональна численности отобранных групп (табл. 6.3). Таблица 6.3 Группировка рабочих разных профессий по степени выполнения норм выработки
Требуется с вероятностью 0,954 определить пределы, в которых находится средний процент выполнения норм рабочими завода в целом. Выборка бесповторная. Решение: Вычислим общий средний процент выполнения норм выработки:
Далее определим среднюю из групповых дисперсий
Рассчитаем предельную ошибку выработки для типического отбора
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм рабочими завода в целом находится в пределах
т.е. он не меньше 103,82% и не больше 104,18%. Задача 4. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в области проведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую вошло 5 районов из 25. Средняя урожайность по каждому отобранному району составила: 250, 260, 275, 280, 300 ц/га. Определить с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться средняя урожайность сахарной свеклы по области. Решение. Найдем общую среднюю
Определим межсерийную дисперсию по формуле
Рассчитаем предельную ошибку выборки при серийном бесповторном отборе
Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя урожайность сахарной свеклы в области будет находиться в пределах от 272,66 до 287,34 ц/га. Задача 5. Предполагается, что партия деталей содержит 8 % брака. Определить необходимый объем выборки, чтобы с вероятностью 0,954 можно было установить долю брака с погрешностью не более 2%. Исследуемая партия содержит 5000 деталей. Решение. По условию задачи t =2, доля бракованных деталей 1-
Чтобы с вероятностью 0,954 можно было утверждать, что предельная ошибка доли брака не превысит 2%, необходимо из 5000 деталей отобрать 642. Задача 6. Что произойдет с предельной ошибкой выборки, если: а) дисперсия уменьшится в 4 раза; б) численность выборки увеличить в 9 раз; в) вероятность исчисления изменится с 0,683 до 0,997. Решение. Из формулы для расчета предельной ошибки выборки видно, что она: а) прямо пропорциональна корню квадратному из дисперсии. Следовательно, если дисперсия уменьшится в 4 раза, то предельная ошибка уменьшится в 2 раза; б) обратно пропорциональна корню квадратному из численности выборки. Следовательно, если объем выборки увеличится в 9 раз, то предельная ошибка уменьшится в 3 раза; в) прямо пропорциональна вероятности исчисления, т.е. при увеличении Р с 0,683 (t =1) до 0,997 (t =3) ошибка увеличится в 3 раза.
РАЗДЕЛ 7.СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ
7.1. Виды и формы взаимосвязи между явлениями Одной из важнейших задач статистики является изучение, измерение и количественное выражение взаимосвязи между явлениями общественной жизни, установленной на основе качественного анализа. Различают два вида связей: функциональную и корреляционную, обусловленные двумя типами закономерностей: динамическими и статистическими. Для явлений, в которых проявляются динамические закономерности, характерна жесткая, механическая причинность, которая может быть выражена в виде уравнения, четкой зависимости и т.д. Такая зависимость называется функциональной. При функциональной связи каждому значению одной величины (аргумента) соответствует одно или несколько вполне определенных значений другой величины (функции). В общественных процессах, в которых проявляются статистические закономерности, нет строгой зависимости между причиной и результатом и обычно не представляется возможным выявить строгую зависимость. Связь, при которой каждому значению аргумента соответствует не одно, а несколько значений функции и между аргументом и функциями нельзя установить строгой зависимости называется корреляционной. Корреляционная зависимость проявляется только в средних величинах и выражает числовое соотношение между ними в виде тенденции к возрастанию или убыванию одной переменной величины при возрастании или убывании другой. По направлению различают прямую и обратную связи. По аналитическому выражению корреляционная связь может быть прямолинейной и криволинейной.
7.2. Основные приемы изучения взаимосвязей а) Метод параллельных рядов. Чтобы установить связь между явлениями достаточно расположить полученные в результате сводки и обработки материалы в виде параллельных рядов и сопоставить их между собой. б) Балансовый метод. Для характеристики взаимосвязи между явлениями в статистике широко применяется балансовый метод. Сущность его заключается в том, что данные взаимосвязанных показателей изображаются в виде таблицы и располагаются таким образом, чтобы итоги между отдельными частями были равны, т.е. чтобы был баланс. Балансовый метод используется для характеристики взаимосвязи между производством и распределением продуктов, денежными доходами и расходами населения и т.д. в) Метод аналитических группировок. При наличии массовых статистических данных для изучения и измерения взаимосвязей социально-экономических явлений широко пользуются методом аналитических группировок. Аналитические группировки позволяют установить наличие связи между двумя и более признаками и ее направление. Метод группировок сочетается с методом средних и относительных величин. г) Дисперсионный анализ. Аналитические группировки при всей своей значимости не дают количественного выражения тесноты связи между признаками. Эта задача решается при помощи дисперсионного и корреляционного анализов. Дисперсионный анализ дает, прежде всего, возможность определить роль систематической и случайной вариаций в общей вариации и, следовательно, установить роль изучаемого фактора в изменении результативного признака. Для этого пользуются правилом сложения дисперсий.
7.3. Корреляционный анализ Определение формы связи Изучение взаимосвязей между признаками статистической совокупности заключается в определении формы и количественной характеристики связи, а также степени тесноты связи. Корреляционный анализ и решает эти двеосновныезадачи . Первая задача заключается в определении формы связи, т.е. в установлении математической формы, в которой выражается данная связь. Предварительный этап при установлении формы связи заключается в теоретическом анализе изучаемого явления, а также в представлении искомой связи графически. График, построенный по исходным данным, позволяет приблизительно определить: есть ли какая-то связь между явлениями; ее направление (прямая или обратная); примерную тесноту связи (естественно, что при графическом анализе используются Применение методов корреляционного анализа дает возможность выражать связь между признаками аналитически - в виде уравнения - и придавать ей количественное выражение. Другими словами необходимо найти зависимость вида y=f(x),причем в качестве функции f(x) могут быть полином 1-го порядка полином 2-го порядка - степенная функция - гиперболическая функция - (могут быть использованы и другие виды функций). Неизвестные параметры функций (аналитических уравнений связи) находятся методом наименьших квадратов, сущность которого в следующем: сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных должна быть наименьшей (см. рисунок):
или
   Отклонение фактических уровней от выровненных
Измерение тесноты связи При изучении корреляционной связи важно выяснить не только форму, но и тесноту связи между факторным и результативным признаком. Для этого (при прямолинейной связи) рассчитывается показатель, называемый парным линейным коэффициентом корреляции
Коэффициент корреляции принимает значение от -1 до +1, причем если В зависимости от того, насколько Коэффициент корреляции может быть исчислен и по следующей формуле где
Зная линейный коэффициент корреляции, можно определить и параметры уравнения регрессии вида
Коэффициент корреляции
где y - исходные значения результативного показателя;
Имея среднее значение дисперсий, коэффициент корреляции можно вычислить как
где
Коэффициент корреляции по своему абсолютному значению находится в пределах от 0 до 1. Если коэффициент корреляции возвести в квадрат и выразить в процентах, получим показатель, называемый коэффициентом детерминации D = R 2∙100%. Он показывает, на сколько процентов изменение результативного фактора зависит от изменения факторного признака. Коэффициент детерминации является наиболее конкретным показателем, так как он отвечает на вопрос о том, какая доля в общем результате зависит от фактора, положенного в основании группировки. 7.4. Множественная корреляция Определение формы и тесноты связи между тремя и более параметрами называется множественной корреляцией. При множественной корреляции определение формы связи аналогично определению формы связи при парной корреляции, а само уравнение регрессии ищется в виде (как правило)
При определении тесноты связи есть свои особенности. Теснота связи измеряется множественным коэффициентом корреляции, вид которого аналогичен коэффициенту корреляции при парной связи
Если изучается взаимодействие только трех факторов y=f(x,z), то коэффициент множественной корреляции можно определить по формуле
где Множественный коэффициент корреляции находится в пределах от 0 до 1. Множественный коэффициент детерминации, равный квадрату R, выраженному в процентах, характеризует долю вариации результативного признака Y под воздействием всех изучаемых факторных признаков. Поскольку факторные признаки действуют не изолировано, а по взаимосвязи, то может возникнуть задача определения тесноты связи между результативным признаком и одним из факторных при постоянных значениях прочих факторов. Она решается при помощи частных коэффициентов корреляции. Например, при линейной связи y=f(x,z) частный коэффициент корреляции между x и y при постоянном z вычисляется по следующей формуле
Частный коэффициент корреляции при изучении зависимости Y от Z при постоянном Х определяется по формуле
Парные коэффициенты корреляции, как правило, выше частных. Это объясняется тем, что факторы взаимно коррелируют между собой. При значительном количестве факторов частный коэффициент корреляции можно получить по формуле
где
7.5. Простейшие методы измерения тесноты связи Измерение тесноты связи между факторами с помощью корреляционно-регрессионного и дисперсионного анализов сопряжено с большими вычислительными трудностями. Для ориентировочной оценки степени тесноты связи существуют приближённые методы, не требующие трудоемких расчетов. К ним относятся: коэффициент корреляции знаков Фехнера, коэффициент корреляции рангов, коэффициент ассоциации и коэффициент взаимной сопряженности. 10. Коэффициент корреляции знаков. Основан на сопоставлении знаков отклонений от средней и подсчете числа случаев совпадения и несовпадения знаков. Коэффициент корреляции знаков определяется по формуле
где U - число пар с одинаковыми знаками отклонений x и y от V - число пар с разными знаками отклонений x и y от Коэффициент корреляции знаков колеблется от -1 до +1. Этот показатель исчисляется очень просто, но именно в силу этого он не очень точен. 11. Коэффициент корреляции рангов. Этот показатель вычисляется не по первичным данным, а по рангам (порядковым номерам), которые присваиваются всем значениям изучаемых признаков, расположенным в порядке их возрастания. Если значения признака совпадают, то определяется средний ранг путем деления суммы рангов на число совпадающих значений. Коэффициент корреляции рангов определяется по формуле
где Коэффициент корреляции рангов также колеблется в пределах от -1 до +1. 12. Коэффициент ассоциации. Коэффициент ассоциации применяется для установления меры связи между двумя качественными альтернативными признаками. Для его вычисления строится комбинационная 4-клеточная таблица:
которая выражает связь между двумя альтернативными явлениями. Коэффициент ассоциации рассчитывается по формуле
Коэффициент ассоциации тоже колеблется в пределах от -1 до +1. 13. Коэффициент взаимной сопряженности В тех случаях, когда требуется установить связь между качественными признаками, каждый из которых состоит из трех и более групп, применяется коэффициент взаимной сопряженности. Для определения степени тесноты связи вычисляется специальный показатель, который называется коэффициентом взаимной сопряженности. Он определяется по формуле:
где n - число единиц совокупности; m 1 и m 2- число групп по первому и второму признаку;
Методика применения всех четырех коэффициентов показана при решении типовых задач.
|
.
; n =200, тогда
.
.
.
=0.15; 1- 
; n =50; N =500; t =1 (P =0.683), тогда подставляя эти данные в формулу получим:
.
.
. (N =1500, т.к. выборка 10%-ная).
или 
ц/га.
ц/га.
ц/га.
=0,08,
=0,02, а N =5000. Подставляем эти данные в формулу и получим
.
только две переменные).
, вычисляемый по формуле
.
>0, то корреляция прямая, если 
<0, то корреляция обратная, а если 
приближается к единице, различают связь слабую, умеренную, заметную, высокую, тесную и весьма тесную.
,
- среднее квадратическое отклонение результативного признака;
- среднее квадратическое отклонение факторного признака.
потому что:
.
применяется только в тех случаях, когда между явлениями существует прямолинейная связь. Если же связь криволинейная, то пользуются коэффициентом корреляции, вычисляемым по формуле
,
-теоретические значения;
-среднее значение y.
,
- факторная (межгрупповая) дисперсия или дисперсия воспроизводимости;
- случайная (средняя из внутригрупповых) дисперсия или остаточная дисперсия; 
- общая дисперсия.
.
.
,
- парные коэффициенты корреляции.
.
.
,
- коэффициент множественной корреляции; 
- коэффициент множественной корреляции результативного фактора (y) со всеми за исключением исследуемого.
,
и 
;
и 
,
- квадрат разности рангов для каждой единицы d=x-y.
.
,
- показатель абсолютной квадратичной сопряженности Пирсона.
