Алгебраические поверхности второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

,

где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны нулю.

Поверхность второго порядка, рассматриваемая, как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Исходное уравнение и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны.

Если поверхность не является вырожденной (т. е. не представляет собой пустое множество, точку, плоскость, пару плоскостей или мнимые поверхности), то преобразованием декартовой прямоугольной системы координат ее уравнение может быть приведено к одному из следующих видов, называемых каноническими и определяющих тип поверхности:

1. Эллипсоид: (рис.1)

2. Гиперболоид

а) однополостный: (рис.2а),

б) двуполостный: (рис.2б).

3. Конус второго порядка: (рис.3),

4. Параболоид

а) эллиптический: (рис. 4а),

б) гиперболический: (рис. 4б).

5. Цилиндр второго порядка

а) эллиптический: (рис. 5а),

б) гиперболический: (рис. 5б),

в) параболический: (рис. 5в)

Рис 1.

а) б)

Рис 2.

Рис 3.

 

а) б)

Рис 4.

 

 

а) б)

в)

Рис 5.

Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений. Он состоит в анализе пересечений уравнения поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям, например, с плоскостями вида . Для каждого значения с, система:

задает соответствующее пересечение.

В качестве примера рассмотрим исследование методом сечений эллиптического параболоида, заданного каноническим уравнением: .

В сечении плоскостью имеем эллипсы , при . Оси эллипса с ростом параметра увеличиваются. При этом при сечение совпадает с началом координат и пусто при . Таким образом, уже можно представить форму поверхности (рис. 6а).

В сечении этой же поверхности плоскостями и соответственно получим параболы

которые имеют равные параметры, не зависящие от , но у которых меняется начало координат в зависимости от . Данные сечения могут дать еще одно геометрическое построение эллиптического параболоида (рис. 6б и рис. 6в соответственно)

а) б) в)

Рис 6.