Процесс моделирования связан с рядом процедур, например,
таких как выбор целевой функции (функции отклика), переменных, параметров и т.д. Рассмотрим основные из них:
Выбор переменных. Различают переменные состояния, скорости
(роста), факторов и др. Они в свою очередь подразделяются на вспомогательные и управляющие.
Переменные состояния определяют или помогают определить со-
стояние системы в любой заданный момент времени (фазовые переменные). Типичным примером может служить объем выбросов и их
содержание. Переменные должны поддаваться измерению и представлять интерес для исследователя. Так, если система задана с помо-
щью n переменных состояния Х 1, Х 2 ,..., Х n, то они определяют един-
ственным способом состояние системы в момент времени t. Проблема детерминированного моделирования состоит в построении дифференциальных уравнений, с помощью которых можно было бы прогнозировать значения всех переменных состояния системы в любой
наперед заданный момент времени.
Переменные скорости (роста) — это характеристика, задающая
процесс, который протекает в системе, в заданный момент времени.
Эти процессы можно квалифицировать либо как преобразование,
либо как перемещения.
Вспомогательные переменные способствуют более глубокому пониманию объекта и в отдельных случаях упрощают сопоставление результатов
наблюдения, например темп роста выбросов в атмосферу
где П — объем выбросов;
dП — приращение объема выбросов за время dt.
Управляющие переменные — это не зависящие от времени количественные показатели и коэффициенты, включаемые в математические модели.
Под константой понимают численную величину, имеющую надежно и точно вычисленное значение, которое остается неизменным при варьировании условий эксперимента, а также в тех случаях, когда модель используется для проверки различных гипотез
или для описания компонент системы.
Термин «параметр» обычно относится к характеристикам, численные значения которых отличаются меньшей определенностью, чем
у констант, но, тем не менее, остаются неизменными на протяжении
исследования модели. Значения параметров подвержены влиянию
условий эксперимента, и они могут иметь приближенное значение.
Для обозначения параметров и констант введем символ Р, а
величины, относящиеся к параметрам, будем записывать с индек-
сом с, например, Sc — постоянные затраты (с - от const).
Для обозначения переменных введем символы Х, Y, Z и т.д.
Величины, относящиеся к переменным, будем записывать с индек-
сом v, например, S v — переменные затраты и т.д. (здесь индекс v — от var).
Подгонка моделей связана с такой корректировкой значений пара-
метров Р и начальных условий переменных Х i (i =1, n), которая прибли-
жала бы модель к описываемой ею реальной системе при сохранении
выбранной структуры и базовых уравнений. Например, пусть у реальной системы измеряется конкретная характеристика Y n, в определенные моменты времени t1, t2,..., t nи соответственно фиксируются значения у1, у2,..., уn. При тех же условиях по модели фиксируем состояния
Y1,Y2,..., Yn, где Yi — прогнозируемые величины характеристик системы. Если имеется разница между значениями уi и Уi, то ее величина
называется невязкой и обозначается как
И можно вычислить сумму квадратов невязок
где а i — некоторый весовой коэффициент, который применяется в случае, когда невязки r iимеют разную качественную значимость. При этом
а 1 + а 2+...+ a n = l.
Сумма невязок используется в качестве меры близости модели
к ее прототипу и может быть разбита на две составляющие
R = R ад +Rе
где R ад — отражает неадекватность модели прототипу;
Rе — ошибки в экспериментальных данных.
Величина R рассматривается как зависимая от параметров сис-
темы Р 1, Р 2, ..., Р kпоэтому ожидаемое значение Rе определяется по
формуле
Rе =(n — k) σ2,
где n — число измерений;
k — число параметров;
σ 2 — дисперсия ошибки.
Зависимость R от параметров Р i (i =1, k) может быть записана
как
R=R (P 1 ,P 2 ,..., P k)
Для определения минимума функции R(P) используют методы:
наименьших квадратов, градиентный и др.
В качестве критерия чувствительности модели, где величина Y i.
прогнозируется в заданный момент времени и известен параметр, от
которого зависит эта величина, рекомендуется безразмерная вели-
чина
где σ P i — малое приращение параметра;
σYi — приращение Yi вследствие изменения параметра P i
Параметры, для которых S(Y i, Р i ) >1, сильно влияют на выход-
ной показатель, и наоборот.
