Разные уравнения

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений: или .

Положим , тогда . Отсюда выразим .

Левую часть уравнения преобразуем так:

,

тогда уравнение примет вид:

.

 

Подставляя вместо , а вместо , получим уравнение:

 

.

 

Приходим к совокупности двух квадратных уравнений:

Все корни входят в область допустимых значений.

 

Ответ:

 

Пример 2. Решите уравнение .

 

Решение

 

Квадратный трехчлен, находящийся в знаменателе дроби имеет отрицательный дискриминант, а потому не будет равен ни при каких значениях переменной, т. е. областью допустимых значений является множество всех действительных чисел, .

Замечаем, что, если в правой части уравнения вынести за скобки "минус" (строго говоря, "минус единицу") у двух слагаемых , тогда в обеих частях уравнения получатся одинаковые суммы с переменными .

Теперь решим полученное уравнение методом введения новой переменной, пусть , , отсюда .

Подставляя в уравнение, получим: .

Последнее уравнение имеет два корня: .

Получим совокупность двух квадратных уравнений:

 

Ответ: .

 

Пример 3. Решите уравнение .

 

Решение

Найдём область допустимых значений: .

Положим , тогда . Уравнение примет вид:

.

Получим совокупность двух уравнений:

Все корни входят в область допустимых значений.

 

Ответ:

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Область допустимых значений переменной:

.

Положим , тогда . Подставляя в уравнение, получим: ,

.

Получим совокупность двух уравнений:

 

 

Все корни входят в область допустимых значений.

 

Ответ: .